tmf の特徴づけ

[katex]\gamma: \Omega\mathcal{U}(4) \to \Omega\mathcal{U} \approx \mathbb{Z}\times B\mathcal{U}[/katex] とし、[katex]\mathcal{Y} = (\Omega\mathcal{U}(4))^\gamma[/katex] を対応する Thom spectrum とします。

Hopf algebroid [katex](A, \Gamma)[/katex]

[katex]A = \mathbb{Z}[a_1, a_2, a_3, a_4, a_6][/katex]

[katex]\Gamma = A[r, s, t, \lambda^\pm][/katex]

に対し、字数付き Hopf algebroid [katex](A_\ast, \Gamma_\ast)[/katex] を、

[katex]A_{2n} = \Gamma(\text{Spec(A)}, \omega^n_C), \Gamma_{2n} = \Gamma(\text{Spec}(\Gamma), \omega^n_C)[/katex]

と定義する。このとき、

[katex]A_t = \Gamma_t = 0 \text{ if }t\text{ is odd}[/katex]

[katex]A_\ast = A[\eta, \eta^{-1}], \Gamma_\ast = \Gamma[\eta, \eta^{-1}], |\eta| = 2, |A| = |\Gamma| = 0[/katex]

となる。ここで、[katex]\eta = dx/(2y+a_1x+a_3)[/katex] とする。

[katex](E, C, \phi)[/katex] を elliptic spectrum とするとき、[katex]E\wedge\mathcal{Y}[/katex] には、[katex]C\otimes_{E_0}E_0\mathcal{Y}[/katex] 上の cannonical Weierstrass spectrum に関する自然な座標が入ります。

従って、[katex]E\wedge\mathcal{Y}^{\wedge(s)}[/katex] を even periodic と仮定しても良いです。さらに、[katex]E\wedge\mathcal{Y}[/katex] は elliptic spectra の普遍 spectra なので、各 elliptic spectrum に対して自然な写像、[katex]\pi_\ast(E\wedge\mathcal{Y}^{\wedge(s+1)} \to \pi_\ast(\text{tmf}\wedge\mathcal{Y}^{\wedge(s+1)}[/katex] が存在します。

参考：

• CHARLES REZK, SUPPLEMENTARY NOTES FOR MATH 512 (web)