The ∞-Category of Spectra

基点付き単体圏 [katex]\mathcal{K}\text{an}_\ast[/katex] を [katex](\mathcal{S}\text{et}_\Delta)_\ast[/katex] の基点付きKan複体からなる充満部分圏とする。このとき、[katex]\mathcal{S}_\ast = \text{N}(\mathcal{K}\text{an}_\ast)[/katex] を基点付き空間の[katex]\infty[/katex]-圏と定義する。

Let [katex]\mathcal{C}[/katex] be an [katex]\infty[/katex]-圏とする。A prespectrum object of [katex]\mathcal{C}[/katex] のprespectrum対象とは以下の条件を満たす関手 [katex]X : \text{N}(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}) \to\mathcal{C}[/katex] のこと:

任意の整数対 [katex]i \neq j[/katex] に対し、値 [katex]X(i, j)[/katex] は [katex]\mathcal{C}[/katex] の零対象。

[katex]\mathcal{C}[/katex] のprespectrumから成る [katex]\text{Fun}(\text{N}(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}), \mathcal{C})[/katex] の充満部分圏を [katex]\text{PSp}(\mathcal{C})[/katex] と表す。 任意の整数 [katex]n[/katex] に対し、[katex](n, n) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}[/katex] 上の値は関手 [katex]\text{PSp}(\mathcal{C}) \to \mathcal{C}[/katex] を誘導する。この関手をn番目空間関手とよび、 [katex]\Omega_\mathcal{C}^{\infty-n}[/katex] と表す。

[katex]X[/katex] を起点付き [katex]\infty[/katex]-圏 [katex]\mathcal{C}[/katex] のprespectrum対象とし、 [katex]n[/katex] を整数とする。

[katex]X[/katex] が [katex]n[/katex] 以下でspectrumであるとは、自然な写像 [katex]\beta : X[m-1] \to \Omega_\mathcal{C}X[m][/katex] が任意の [katex]m\leq n[/katex] に対し同型となること。

[katex]X[/katex] が [katex]n[/katex] 以上で懸垂prespectrumであるとは、自然な写像 [katex]\alpha : \Sigma_\mathcal{C} X[m] \to X[m + 1][/katex] が任意の [katex]m\geq n[/katex] に対して同型となること。

[katex]X[/katex] が [katex]n[/katex]-懸垂prespectrumであるとは、[katex]n[/katex] 以上で懸垂prespectrum かつ [katex]n[/katex] 以下でspectrumとなること。

[katex]X[/katex] がspectrum対象であるとは、任意の[katex]n[/katex] に対して、[katex]n[/katex] 以下でspectrum対象となること。

[katex]\text{Sp}(\mathcal{C})[/katex] で[katex]\mathcal{C}[/katex]のspectrum対象から成る [katex]\text{PSp}(\mathcal{C})[/katex] の充満部分圏を表す。

[katex]\mathcal{C}[/katex] を任意の [katex]\infty[/katex]-圏とするとき、[katex]\text{Stab}(\mathcal{C}) = \text{Sp}(\mathcal{C}_\ast)[/katex] と定義する。ここで [katex]\mathcal{C}_\ast[/katex] は [katex]\mathcal{C}[/katex] の起点付き対象から成る [katex]\infty[/katex]-圏とする。[katex]\text{Stab}(\mathcal{C})[/katex] は [katex]\mathcal{C}[/katex] のstabilizationと呼ぶ。

[katex]\mathcal{C}[/katex] を極限と余極限を持つ起点付き [katex]\infty[/katex]-圏とする。このとき、

1. 任意の対象 [katex]X \in \text{Sp}(\mathcal{C})[/katex] に対し、自然な写像 [katex]X \to \Omega_{\text{Sp}(\mathcal{C})}S(X)[/katex] は同型。
2. [katex]\infty[/katex]-圏 [katex]\text{Sp}(\mathcal{C})[/katex] は安定。

spectrum とは起点付き空間の [katex]\mathcal{S}_\ast[/katex] の [katex]\infty[/katex]-圏 のspectrum対象をいう。

[katex]\text{Sp} = \text{Sp}(\mathcal{S}_\ast) = \text{Stab}(\mathcal{S})[/katex]

でspectraの [katex]\infty[/katex]-圏を表す。

1. [katex]\infty[/katex]-圏 [katex]\text{Sp}[/katex] は安定。
2. [katex](\text{Sp})_{\leq -1}[/katex] を[katex]\Omega^\infty(X)\in S[/katex] が可縮となるような対象 [katex]X[/katex] からなる [katex]\text{Sp}[/katex] の充満部分圏とする。このとき [katex](\text{Sp})_{\leq -1}[/katex] は [katex]\text{Sp}[/katex] 上のaccessible t-structureを持つ。
3. [katex]\text{Sp}[/katex] 上のt-structureは左完全かつ右完全であり、そのheart [katex]\mathcal{S}_\infty^\hearts[/katex] はアーベル群の圏（のnerve）への自然な同型を持つ。