古典的Kan拡張
[katex]C[/katex] と [katex]J[/katex] を通常の圏として、[katex]\delta : C \to C^J[/katex] を自明な対角関手とします。この時もし [katex]C[/katex] が任意の小さな余極限を持つならば、[katex]\delta[/katex] は左随伴 [katex]\underrightarrow{\text{lim}} : C^J \to C[/katex] を持ちます。従って、余極限の理論は対角関手の左随伴の研究と考えることが出来ます。
より一般に、関手 [katex]i : J \to J'[/katex]が与えられた時、[katex]i[/katex] の合成により関手 [katex]J[/katex] を誘導します。この時 [katex]C[/katex] が十分な余極限を持てば、[katex]i[/katex] に関する左随伴が構成可能です。この時、この左随伴を、[katex]i[/katex] に関する左Kan拡張と呼びます。
余極限対
[katex]f : C \to D[/katex] を inner fibration、[katex]\overline{p} : K^\triangleright \to C[/katex] を図式、[katex]p = \overline{p}|K[/katex] とする。この時、[katex]\overline{p}[/katex] が [katex]p[/katex] の [katex]f[/katex]-余極限であるとは、写像
[katex]C_{\overline{p}/} \to C_{p/} \times_{D_{fp/}} D_{f\overline{p}/} [/katex]
が、自明fibrationとなっていることを言う。[katex]\overline{p}[/katex] は [katex]f[/katex]-余極限図式と呼ぶこともある。
即ち、余極限を引き戻しで定義しているということになります。
定義の条件のとき、[katex]C_{p/} \times_{D_{fp/}} D_{f\overline{p}/} [/katex] は homotopy fiber積になるため、下の図式の四角は homotopy Cartesian、即ち点線矢印は categorical equivalence になります。従って、[katex]\overline{p}[/katex] が [katex]p[/katex] の [katex]f[/katex]-余極限であることと、射
[katex]C_{\overline{p}/} \to C_{p/} \times_{D_{fp/}} D_{f\overline{p}/} [/katex]
が categorical equivalence であることは同値になります。
[latex]
\begin{tikzcd}[sep=huge]
C_{\overline{p}/} \arrow[drr, bend left] \arrow[ddr, hook, bend right] \arrow[dr, dotted, “triv.”] && \\
& \bullet \arrow[d] \arrow{r} \arrow[dr, phantom, “\ulcorner”, very near start]
& D_{f\overline{p}/} \arrow{d} \\
& C_{p/} \arrow{r}
& D_{fp/}
\end{tikzcd}
[/latex]
Kan拡張
[katex]\infty[/katex]-圏のKan拡張を定義します。
[katex]C[/katex] を [katex]\infty[/katex]-圏、[katex]C^0[/katex] をその充満部分圏とします。[katex]p : K \to C[/katex] が図式の時、[katex]C^0_{/p}[/katex] で fiber 積 [katex]C_{/p} \times_C C^0[/katex] を表すとします。特に、[katex]c[/katex] が [katex]C[/katex] の対象の時、[katex]C^0_{/c}[/katex] で射 [katex]c’ \to c[/katex] から成る充満部分圏を表します。ただし、[katex]c’ \in C^0[/katex] とします。
[katex]\infty[/katex]-圏に関する以下の図式が与えられているとする。
[latex] [+preamble] \usepackage{tikz} \usepackage{tikz-cd} [/preamble] \begin{tikzcd}[sep=huge] C^0 \arrow[d, hook] \arrow{r}{F_0} & D \arrow{d}{p} \\ C \arrow{ur}{F} \arrow{r} & D’ \end{tikzcd} [/latex]
ただし、[katex]p[/katex] は inner fibration、左の矢印は包含[katex]C^0 \subseteq C[/katex] とする。
この時、[katex]F[/katex] が [katex]c \in C[/katex] における [katex]F_0[/katex] の [katex]p[/katex]-左Kan拡張であるとは、 誘導された図式
[latex] \begin{tikzcd}[sep=huge] (C^0_{/c}) \arrow[d, hook] \arrow{r}{F_C} & D \arrow{d}{p} \\ (C^0_{/c})^\triangleright \arrow{ur} \arrow{r} & D’ \end{tikzcd} [/latex]
が、[katex]F_C[/katex] の [katex]p[/katex]-余極限 [katex]F(C)[/katex] であることを言う。
[katex]F[/katex] が [katex]F_0[/katex] の [katex]p[/katex]-左Kan拡張であるとは、任意の [katex]c \in C[/katex] に対して [katex]c[/katex] における [katex]F_0[/katex] の [katex]p[/katex]-左Kan拡張であることを言う。
特に[katex]D’ = \Delta^0[/katex] のとき、 [katex]p[/katex] を省略して単に [katex]F[/katex] は[katex]F_0[/katex] の 左Kan拡張と呼ぶ。
補足.
[katex]C[/katex] を [katex]\infty[/katex]-圏とし、 [katex]X[/katex]、[katex]X[/katex] をその頂点とする。この時、[katex]X[/katex] が終対象であるとは、射影 [katex]C_{X/} \to C[/katex] が、自明 fibration になっているということで、[katex]Y[/katex] が終対象であるとは、射影 [katex]C_{/Y} \to C[/katex] が、自明 fibration になっていると定義する。
[katex]C[/katex] を [katex]\infty[/katex]-圏、[katex]p : K \to C[/katex] を 単体集合の間の射とする。このとき、[katex]p[/katex] に関する余極限は [katex]C_{p/}[/katex] の始対象、[katex]p[/katex] に関する極限は [katex]C_{p/}[/katex] の終対象と定義する。
参考文献：
Jacob Lurie, Higher Topos Theory
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