[katex]\infty[/katex]-圏の圏を考えるとき、ordinary圏の中で理論を展開するのはナンセンスです。ordonary圏の一般化として様々なものがありますが、やはりここは [katex]\infty[/katex]-圏、即ち、[katex]\infty[/katex]-圏の [katex]\infty[/katex]-圏を考えたいですよね。
Infinity Category of Infinity Category
単体圏 [katex]Cat^\Delta_\infty[/katex] を以下で定義する。
- [katex]Cat^\Delta_\infty[/katex] の対象は（小さな） [katex]\infty[/katex]-圏。
- [katex]\infty[/katex]-圏 [katex]C[/katex]、[katex]D[/katex] に対し、射の対象（＝単体集合）[katex]\text{Map}_{Cat^\Delta_\infty}(C, D)[/katex] を [katex]\infty[/katex]-圏 [katex]Fun(C, D)[/katex] に含まれる最大のKan複体で定義する。
さらに、[katex]Cat_\infty[/katex] で [katex]\text{N}(Cat^\Delta_\infty)[/katex] を表すとし、[katex]Cat_\infty[/katex] を（小さな）[katex]\infty[/katex]-圏 の [katex]\infty[/katex]-圏 とみなすことにする。
[katex]Cat_\infty[/katex] の射対象はKan複体なので、それ自体ちゃんと [katex]\infty[/katex]-圏となっています。
上の定義は、小さな [katex]\infty[/katex]-圏のみを対象としています。小さいと限らない [katex]\infty[/katex]-圏については [katex]\widehat{Cat}_\infty[/katex] で表すことにします。
Limits and Colimits
圏の構成問題でやはり気になるのは極限です。HTTでは極限・余極限を直接定義している他、[katex]Cat_\infty[/katex] をある simplicial model category [katex]\mathbf{A}[/katex] に付随する圏として実現し、[katex]Cat_\infty[/katex] の極限・余極限の存在性を [katex]\mathbf{A}[/katex] のhomotopy極限・homotopy余極限の存在に帰着させる方法が紹介されています。その鍵となるのは以下の定理です。
[katex]\mathbf{A}[/katex] を combinatorial simplicial model category とする。このとき、 [katex]\infty[/katex]-category [katex]S = \text{N}(\mathbf{A}^\circ)[/katex] は（小さな）極限と余極限を持つ。
! [注意] ここで仮定されている [katex]\mathbf{A}[/katex] はsimplicial model structureであって、Joyal model structureでないことに注意してください。[katex]Cat^\Delta_\infty[/katex] にsimplicial model structureを入れるには・・・？
[katex]Cat^\Delta_\infty[/katex] の対象は [katex]\infty[/katex]-圏のnerveなので、[katex]Set_\Delta[/katex] にJoyal model structureを入れたときのfibrant-cofibrant対象と見なせます。ところが、Joyal model structureとsimplicial model structureは可換でないので、そのまま上の定理を適応することはできないです。この解消のために新たなmarked simplicial setの圏 [katex]Set^+_\Delta[/katex] を導入しています。この [katex]Set^+_\Delta[/katex] はsimplicial categoryとしての同型 [katex]Cat^\Delta_\infty \backsimeq (Set^+_\Delta)^\circ[/katex] が成り立つようにsimplicial model structureを入れることができます。（HTT 3.1.4.4.）
従って定理をそのまま適応することが出来て、無事、[katex]\infty[/katex]-圏の意味で極限・余極限の存在が保証されました。
参考文献：
Jacob Lurie, Higher Topos Theory
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