与えられた [katex]\infty[/katex]-圏の図式
[katex]C \to D’ \xleftarrow{p} D[/katex]
ただし [katex]p[/katex] は categorical fibration とする。 [katex]C^0[/katex] を [katex]C[/katex] の充満部分圏とする。[katex]K \subset \text{Map}_{D’}(C, D)[/katex] を [katex]F|C^0[/katex] の [katex]p[/katex]-左Kan拡張となる関手 [katex]F : C \to D[/katex] で満たされる充満部分圏とする。[katex]K’ \subset \text{Map}_{D’}(C^0, D)[/katex] を、任意の対象 [katex]c \in C[/katex] 関して誘導された図式 [katex]C^0_{/c} \to D[/katex] が [katex]p[/katex]-余極限を持つようなもので満たされる充満部分圏とする。この時、制限関手 [katex]p[/katex] は単体集合の自明 fibration となる。
例
命題の主張を少し簡単にして、[katex]D’ = \Delta^0[/katex] としてみる。
[katex]C, D[/katex] を [katex]\infty[/katex]-圏、[katex]C^0[/katex] を [katex]C[/katex] の充満部分圏とする。[katex]K \subset \text{Fun}(C, D)[/katex] を [katex]F|C^0[/katex] の 左Kan拡張となる関手 [katex]F : C \to D[/katex] で満たされる充満部分圏とする。[katex]K’ \subset \text{Fun}(C^0, D)[/katex] を、任意の対象 [katex]c \in C[/katex] 関して誘導された図式 [katex](C_{/c} \times_C C^0 =:) C^0_{/c} \to D[/katex] が 余極限を持つようなもので満たされる充満部分圏とする。この時、制限関手 [katex]K \to K'[/katex] は単体集合の自明 fibration となる。
[katex]C^0, C[/katex] を以下のように仮定します。
- [katex]C^0[/katex] ～～＞ [katex]\Delta^1[/katex]
[katex display=true]\begin{CD}\Delta^1 @. = @. \bullet @>>> \bullet\end{CD}[/katex] - [katex]C\ [/katex] ～～＞ [katex]\Delta^1\vee\Delta^1[/katex]
[katex display=true]\begin{CD}
@. @. @. \bullet @>>> \bullet \\
@. \Delta^1\vee\Delta^1 @. = @. @VVV @. \\
@. @. @. c_0 @. @.
\end{CD}
[/katex] - [katex]D\ [/katex] ～～＞ 任意の基点付き [katex]\infty[/katex]-圏
[katex]c_0 \in C[/katex] を [katex]c_0 \notin C^0[/katex] なる対象とします。
[katex]C[/katex] は零対象を持つので少なくとも1つのconeを持ちます。
[katex display=true]\begin{CD}
F(\bullet) @>>> F(\bullet)
@. @. @.
F(\bullet) @>>> F(\bullet) \\
@VVV @.
@. \to @.
@VVV @VVV \\
F(c_0) @.
@. @. @.
0 @= 0
\end{CD}
[/katex]
従って、[katex]K'[/katex] はそのまま [katex]\text{Fun}(C^0, D)[/katex] です。
一方、[katex]K\subset \text{Fun}(C, D)[/katex] は [katex]C[/katex] 上の以下の図式になっているものです。
[katex display=true]\begin{CD}
F(\bullet) @>>> F(\bullet) \\
@VVV @. \\
0 @.
\end{CD}
[/katex]
従って、命題の主張により、以下の写像は自明fibrationであることがわかります。
[katex display=true]\begin{CD}
@. F(\bullet) @>>> F(\bullet) @. \\
@. \{ @VVV @. \}
@. = @. K @. \to @. K’ @. = @.
\{ F(\bullet) @>>> F(\bullet) \} @. \\
@. 0 @.
\end{CD}
[/katex]
参考文献：
Jacob Lurie, Higher Topos Theory
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