球面の安定ホモトピー群を計算するためのAdams-Novikovスペクトル系列のE2項は
[katex]E_2^{\ast,\ast} = \text{Ext}_{BP_\ast BP}^{\ast,\ast}(BP_\ast,BP_\ast)[/katex]
になります。
今回、というか今シリーズはこの右辺を計算するためのcobar complexの定義をしたいと思います。
流れとしては、 [katex]\text{Hom}_{BP_\ast BP}^{\ast,\ast}(BP_\ast, – )[/katex] の右導来関手による複体を計算しやすいある加群に置き換えること、そして [katex]BP_\ast[/katex] 余加群の標準的な射影分解（projective resolution）を見つけることが大きな目標になります。
[katex]K[/katex]を可換環とします。
[katex]K[/katex]上のHopf亜代数（Hopf algebroid）とは可換[katex]K[/katex]代数の圏の、亜群対象のことを言います。が、この定義はピンと来ないので代わりの具体的な定義を述べます。
[katex]K[/katex]上のHopf亜代数の定義は以下のとおりです。
[katex]K[/katex]を可換環とする。[katex]K[/katex]上Hopf亜代数とは、以下の構造射を持つ可換[katex]K[/katex]代数の対[katex](A, \Gamma)[/katex]のこと。
[katex] \begin{array}{ll} \eta_L:A\to\Gamma & left\ unit, \\ \eta_R:A\to\Gamma & right\ unit, \\ \Delta:A\to\Gamma\otimes_A\Gamma & coproduct, \\ \varepsilon:\Gamma\to A & counit, \\ c:\Gamma\to\Gamma & conjugation. \end{array} [/katex]
ここで [katex]\Gamma[/katex] は [katex]C[/katex]に関し左[katex]A[/katex]-加群であり[katex]C[/katex]に関して右[katex]A[/katex]-加群。[katex]C[/katex]は通常のテンソル積。[katex]C[/katex]と[katex]C[/katex]は[katex]A[/katex]加群の射。更にこれらの構造射は以下の条件を満たすものとする。
[katex] \begin{array}{ll} (a)\ \varepsilon\eta_L=\varepsilon\eta_R=1_A. \\ (b)\ (\Gamma\otimes\varepsilon)\Delta=(\varepsilon\otimes\Gamma)\Delta=1_\Gamma. \\ (c)\ (\Gamma\otimes\Delta)\Delta=(\Delta\otimes\Gamma)\Delta=1_\Gamma. \\ (d)\ c\eta_R=\eta_L and c\eta_L=\eta_R. \\ (e)\ cc=1_\Gamma. \\ (f)\ 下記の図式を可換にする. \end{array} [/katex]
[katex] \begin{array}{ccccc} \Gamma & \xleftarrow{c\cdot\Gamma} & \Gamma\otimes_K\Gamma & \xrightarrow{\Gamma\cdot c} & \Gamma \\ & \nwarrow & \downarrow & \nearrow & \\ \eta_R\uparrow && \Gamma\otimes_A\Gamma && \uparrow\eta_L \\ && \uparrow && \\ A & \xleftarrow{\varepsilon} & \Gamma & \xrightarrow{\varepsilon} & A \end{array} [/katex]
ここで、[katex](c\cdot\Gamma)(\gamma_1\otimes\gamma)=c(\gamma_1)\gamma_2[/katex] かつ [katex](\Gamma\cdot c)(\gamma_1\otimes\gamma)=\gamma_1c(\gamma_2)[/katex]。
Hopf亜代数の主な例は適当なスペクトラム [katex]E[/katex] に関する [katex](\pi_\ast E,E_\ast E)[/katex] です。
より具体的には [katex]((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})_\ast,\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}_\ast (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}))[/katex] 、 [katex](\pi_\ast BP,BP_\ast BP)[/katex] などが重要となると思います。
次に、 [katex]BP_\ast BP[/katex] が作用するような、 [katex]BP_\ast[/katex] が住んでいる圏の対象を定義しましょう。
[katex](A,\Gamma)[/katex]をHopf亜代数とする。右[katex]\Gamma[/katex]-余加群[katex]M[/katex] とは、右[katex]A[/katex]-加群[katex]M[/katex] と[katex]A[/katex]線形射 [katex]\psi:M\to\Gamma\otimes_A M[/katex] で単位的かつ推移的、即ち、
[katex] \begin{array}{ll} (\varepsilon\otimes M)\psi=M, \\ (\Delta\otimes M)\psi = (\Gamma\otimes\psi)\psi. \end{array} [/katex]
を満たすもの。左[katex]\Gamma[/katex]-余加群も同様。また、 [katex]\Gamma[/katex] となるような元 [katex]\Gamma[/katex] を原始的であるという。
[katex](A,\Gamma)[/katex]をHopf亜代数とする。右[katex]\Gamma[/katex]-余加群[katex]M,N[/katex] の間の射は、[katex]f:M\to N[/katex] であって、の構造射 [katex]\psi_M,\psi_N[/katex]と可換であるもの。即ち、
[katex] \text{Hom}_\Gamma(M,N) = \text{ker}(\psi_M^\ast-\psi_N^\ast) = \{ f\in \text{Hom}(M,N) | (\Gamma\otimes f)\circ\psi_M = \psi_N\circ f\}. [/katex]
[katex]\Gamma[/katex]が[katex]A[/katex]-加群として平坦であるとき、右[katex]\Gamma[/katex]-余加群[katex]M[/katex] の圏はAbel圏になる。
今後[katex]\Gamma[/katex]が[katex]A[/katex]-加群として平坦であるとします。
左[katex]\Gamma[/katex]-余加群[katex]N[/katex]に対して、[katex]\text{Hom}_\Gamma(A, N)[/katex] をより分かりやすい対象で置き換えたいと思います。
[katex]M[/katex]がA上射影的であるとすると、
[katex]\text{Hom}_A(M,A)\otimes_A N \cong \text{Hom}_A(M,A)\otimes_A\Gamma[/katex]
が成り立ちます。
この同型を含む以下の可換図式を考えます。
[katex]
\begin{array}{ccc}
\text{Hom}(M,A)\otimes N & \xrightarrow{\cong} & \text{Hom}_A(M,N) \\
\\
\psi_M^\ast\otimes N\downdownarrows\text{Hom}(M,A)\otimes\psi_N & \circlearrowleft & \psi_M^\ast\downdownarrows\psi_N^\ast \\
\\
\text{Hom}(M,A)\otimes\Gamma\otimes N & \xrightarrow{\cong} & \text{Hom}_A(M,\Gamma\otimes_AN)
\end{array}
[/katex]
特に、この図式において、[katex]M[/katex]はそのまま[katex]M[/katex]の構造射となります。
この図式によると、
[katex]
\begin{array}{rcl}
\text{Hom}_\Gamma(M,N) &=& \text{ker}(\psi_M^\ast-\psi_N^\ast) \\
&\cong& \text{ker}(\psi_M^\ast\otimes N-\text{Hom}(M,A)\otimes\psi_N).
\end{array}
[/katex]
特に、M=Aのときは、Aを左余加群とみなすことで、
[katex]
\begin{array}{rcll}
\text{Hom}_\Gamma(A,N) &=& \text{ker}(\eta_R^\ast-\psi_N^\ast) &(\subset \text{Hom}(M,N)) \\
&\cong& \text{ker}(\eta_R^\ast\otimes N-\text{Hom}(A,A)\otimes\psi_N) &(\subset \text{Hom}(M,A)\otimes\Gamma\otimes N) \\
&\cong& \text{ker}(\eta_R\otimes N-A\otimes\psi_N). &(\subset A\otimes\Gamma\otimes N)
\end{array}
[/katex]
となり、最後の式により[katex]\text{Hom}_\Gamma(A, N)[/katex]は[katex]A\otimes\Gamma\otimes N[/katex]の部分加群として表現可能となります。
すごく捉えやすくなりましたね。
この置き換えにより、Extを計算するために、[katex]\text{Hom}_{BP_\ast BP}^{\ast,\ast}(BP_\ast, – )[/katex] の右導来関手による複体は、あるテンソル積された余加群からなる複体上の計算に置き換えられそうです。
次の目標は、任意の余加群に対して、Extが計算できるような、計算上便利な複体を見つけることです。
→次の記事（※準備中）
※参考文献
Douglas C. Ravenel, Complex Cobordism and Stable Homotopy Groups of Spheres
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