古典ホモトピー論において、（基点付き）空間 [katex]X[/katex] の最も重要な不変量はそのホモトピー群 [katex]\pi_i(X,x)[/katex] です。
ここでは任意の [katex]\infty[/katex]-トポス [katex]\mathcal{X}[/katex] の対象 [katex]X[/katex] に対し、類似の不変量を定義したいと思います。[katex]\infty[/katex]-トポスについてはまた詳しく述べたいと思いますのでここでは、ある条件を満たす特別な [katex]\infty[/katex]-圏と思ってください。
[katex]\infty[/katex]-トポスにおけるホモトピー群の定義は通常の群でなく、代わりに底トポスを [katex]\text{Disc}(\mathcal{X})[/katex] とする、群を値に持つ層で定義されます。
ここで定義したホモトピーの性質についてはまた別の機会に述べたいと思います。
Truncation
Let [katex]k \leq -1[/katex] を整数とする。Kan複体 [katex]X[/katex] が [katex]k[/katex]-truncated であるとは、任意の [katex]i > k[/katex] と任意の点 [katex]x \in X[/katex] に対し、
[katex]\pi_i(X, x) \simeq \ast.[/katex]
となることと定義する。簡便のため、[katex]X[/katex] が [katex](-2)[/katex]-truncated であるとは、[katex]X[/katex] が可縮のときとする。
[katex]\mathcal{C}[/katex] を [katex]\infty[/katex]-圏とし [katex]k \leq -1[/katex] を整数とする。 [katex]\mathcal{C}[/katex] の対象 [katex]C[/katex] が [katex]k[/katex]-truncatedであるとは、任意の [katex]D \in \mathcal{C}[/katex] に対して、空間 [katex]\text{Map}(D, C)[/katex] が [katex]k[/katex]-truncatedであると定義する。簡便のため、[katex]C[/katex] が [katex](-2)[/katex]-truncated であるとは、それが [katex]\mathcal{C}[/katex] の終対象のときとする。[katex]\mathcal{C}[/katex] の対象が離散的であるとは、それが [katex]0[/katex]-truncatedであると定義する。また、[katex]\tau_{\leq k}\mathcal{C}[/katex] で [katex]k[/katex]-truncated対象からなる充満部分圏を表すとする。
[katex]\mathcal{C}[/katex] を [katex]\infty[/katex]-圏とすると、充満部分圏 [katex]\tau_{\leq 0}\mathcal{C}[/katex] は自身のホモトピー圏のnerveに同型となります。
[katex]\mathcal{C} \simeq \text{N}(\text{h}\mathcal{C})[/katex]
このホモトピー圏を [katex]\text{Disc}(\mathcal{C})[/katex] と表し、[katex]\mathcal{C}[/katex] の離散対象の圏と呼びます。
[katex]\mathcal{C} \simeq \text{N}(\text{Disc}(\mathcal{C}))[/katex]
Kan複体 [katex]X[/katex] が [katex]k[/katex]-truncated であることと、それを [katex]\infty[/katex]-圏 [katex]\mathcal{S}[/katex] の対象とみなしたときに [katex]k[/katex]-truncatedとなることは同値になります。
[katex]\mathcal{C}[/katex] をpresentable [katex]\infty[/katex]-圏、[katex]k \leq −2[/katex]、そして[katex]\tau_{\leq k} \mathcal{C}[/katex] を [katex]k[/katex]-truncated対象からなる [katex]\mathcal{C}[/katex] の充満部分圏とする。 この時、包含写像 [katex]\tau_{\leq k} \mathcal{C}\subseteq\mathcal{C}[/katex] はaccessible左随伴 [katex]\tau_{\leq k}[/katex] を持つ。
Homotopy Set
[katex]\mathcal{X}[/katex] を [katex]\infty[/katex]-トポスとし [katex]X[/katex] を [katex]\mathcal{X}[/katex] の対象とします。[katex]\infty[/katex]-圏 [katex]\mathcal{S}[/katex] の離散的対象は離散空間とみなせるので、 [katex]\mathcal{X}_{/X}[/katex] の離散的対象は [katex]\mathcal{X}[/katex] 上の、集合に値を取る層、即ちトポスとみなします。[katex]\mathcal{X}[/katex] は presentableなので、[katex]\mathcal{X}[/katex] の任意の対象 [katex]X[/katex] と任意の単体集合 [katex]K[/katex] に対してある [katex]\mathcal{X}[/katex] の対象 [katex]X^K[/katex] が存在して以下の自然な同型
[katex]\text{Map}_\mathcal{X}(Y, X^K)\to\text{Map}_\mathcal{H}(K, \text{Map}_\mathcal{X}(Y, X))[/katex]
が空間のホモトピー圏 [katex]\mathcal{H}[/katex] の中に存在します。
[katex]S^n = \partial\Delta^{n+1} \in \mathcal{H}[/katex] を（単体的） [katex]n[/katex]-球面としその上の基点 [katex]\ast\in S^n[/katex] を固定する。この時 [katex]\ast[/katex] における値は [katex]\mathcal{X}[/katex] の写像 [katex]s:X^{S^n}\to X[/katex]を誘導する。この [katex]s[/katex] を [katex]\mathcal{X}_{/X}[/katex] の対象とみなし、[katex]\pi_n(X) = \tau_{\leq0}s\in\mathcal{X}_{/X}[/katex] を [katex]\mathcal{X}_{/X}[/katex] の離散的対象として定義する。
[katex]\pi_n : X \mapsto (s:X^{S^n}\to X) \mapsto \tau_{\leq0}s[/katex]
[katex]\pi_n(X)[/katex] を底空間としてのトポス [katex]\text{Disc}(\mathcal{X}_{/X})[/katex] における像と同一視します。これは通常の自然な同型に対してwell-definedになります。定値写像 [katex]S^n \to \ast[/katex] は [katex]\pi_n(X)[/katex] の基点を対応させる写像 [katex]X \to X^{S^n}[/katex] を誘導します。
Group Structure
[katex]K[/katex] と [katex]K'[/katex] を基点付き単体集合とし [katex]K\vee K'[/katex] をその余積 [katex]K\coprod K'[/katex] とします。このとき、[katex]\mathcal{X}[/katex] のpullback図式
[katex display=true]\begin{CD}
@. X^{K\vee K’} @>>> X^{K’} \\
@. @VVV \ulcorner @VVV \\
@. X^K @>>> X
\end{CD}[/katex]
が存在するので、[katex]\infty[/katex]-トポス [katex]\mathcal{X}_{/X}[/katex] の中で [katex]X^{K\vee K’}[/katex] は [katex]X^K[/katex] と [katex]X^{K’}[/katex] の直積と見なせます。
[katex]\tau_{\leq 0}[/katex] は有限直積を保つので、トポス [katex]\text{Disc}(\mathcal{X}_{/X})[/katex] の中の自然な同型
[katex]\tau_{\leq 0}^{\mathcal{X}_{/X}}(X^{K\vee K’}) \simeq \tau_{\leq 0}^{\mathcal{X}_{/X}}(X^K) \times \tau_{\leq 0}^{\mathcal{X}_{/X}}(X^{K’}) [/katex]
が存在します。特に、[katex]n > 0[/katex] に対して、通常の余積 [katex]S^n \to S^n\vee S^n[/katex] は積写像 [katex]\pi_n(X)\times \pi_n(X)\to \pi_n(X)[/katex] を誘導します。通常のホモトピー論の時と同じように、[katex]\pi_n(X)[/katex] は [katex]n > 0[/katex] の時は [katex]\text{Disc}(\mathcal{X}_{/X})[/katex] の群対象、[katex]n > 1[/katex] に対してはさらに可換であることがわかります。
※参考文献
J. Lurie, Higher Topos Theory.
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