Connection
Let [katex]f : X → Y[/katex] を [katex]\infty[/katex]-トポス [katex]\mathcal{X}[/katex] の射とし [katex]0 \leq n \leq \infty[/katex] とする。[katex]f[/katex] が [katex]n[/katex]-連結であるとは、それがeffective epimorphismかつ [katex]0 \leq n \leq n[/katex] に対して [katex]\pi_k(f) = \ast[/katex] であると定義する。対象 [katex]\mathcal{X}[/katex] が [katex]n[/katex]-連結であるとは [katex]f : X → 1_\mathcal{X}[/katex] が [katex]n[/katex]-連結であると定義する。ここで [katex]1_\mathcal{X}[/katex] は [katex]\mathcal{X}[/katex] の終対象とする。簡便のため、[katex]\mathcal{X}[/katex] の任意の射 [katex]f[/katex] は [katex](-1)[/katex]-連結であるとする。
連結ならばホモトピー同値であるというWhiteheadの定理の類似を述べるためにはまた別の概念を要するので、それはまた別の機会に述べることにします。
Eilenberg-MacLane Object
[katex]\mathcal{X}[/katex] を [katex]\infty[/katex]-圏とする。起点付き対象とは [katex]\mathcal{X}[/katex] の中で、[katex]\mathcal{X}[/katex] の終対象 [katex]1[/katex] からの射 [katex]X_\ast : 1 \to X[/katex] を持つものとする。[katex]\mathcal{X}_\ast[/katex] を [katex]\mathcal{X}[/katex] の起点付き対象から成る [katex]\text{Fun}(\Delta^1, \mathcal{X})[/katex] の充満部分圏とする。 [katex]\mathcal{X}[/katex] の群対象とは亜群 [katex]U_\bull : \text{N}\Delta^{op} \to \mathcal{X}[/katex] であって、[katex]U_0[/katex] が [katex]\mathcal{X}[/katex] の終対象であるものをいう。 [katex]\mathcal{G}\text{rp}(\mathcal{X})[/katex] を [katex]\mathcal{X}[/katex] の群対象全体から成る [katex]\mathcal{X}_\Delta[/katex] の充満部分圏とする。 [katex]\infty[/katex]-トポス [katex]\mathcal{X}[/katex] の起点付き対象 [katex]1 \to \mathcal{X}[/katex] は、[katex]\mathcal{X}[/katex] が [katex]n[/katex]-truncated かつ [katex]n[/katex]-連結のとき、次元 [katex]n[/katex] のEilenberg-MacLane対象と呼ぶ。また、[katex]\mathcal{EM}_n(\mathcal{X})[/katex] で次元 [katex]n[/katex] のEilenberg-MacLane対象から成る [katex]\mathcal{X}[/katex] の充満部分圏を表すとする。
[katex]\mathcal{C}[/katex] を有限の極限を持つ常圏とします。[katex]\mathcal{C}[/katex] の群対象とは単位切断 [katex]1_\mathcal{C}\to X[/katex]、逆射 [katex]X\to X[/katex]、そして積 [katex]m : X \times X \to X[/katex] を持ちそれぞれ群の適当な公理を満たすものです。同値的に、[katex]\mathcal{C}[/katex] の群対象は対象 [katex]X[/katex] と、[katex]Y[/katex] に関数的に依存する各写像空間 [katex]\text{Hom}_\mathcal{C}(X,Y)[/katex] 上の群構造のことです。
[katex]\mathcal{C}[/katex] の群対象からなる（通常の）圏を [katex]\mathcal{G}\text{rp}(\mathcal{X})[/katex] と書くことにします。[katex]\infty[/katex]-圏 [katex]\text{N}(\mathcal{G}\text{rp}(\mathcal{X}))[/katex] は上の定義の意味での [katex]\text{N}(\mathcal{C})[/katex] の群対象の [katex]\infty[/katex]-圏に同値になります。 [katex]\text{N}(\mathcal{G}\text{rp}(\mathcal{X}))[/katex] の群対象 [katex]U_\bull[/katex] に対応する [katex]\mathcal{C}[/katex] の群対象は [katex]U_1[/katex] です。
従って、[katex]\infty[/katex]-圏の群対象の定義は常圏の群対象の定義の一般化と見なせます。
[katex]\mathcal{X}[/katex] を [katex]\infty[/katex]-トポスとする。[katex]n \geq 0[/katex] を非負整数とし、[katex]\pi_n : \mathcal{X}_\ast \to \text{N}(\text{Disc}(\mathcal{X})))[/katex] を対応するホモトピー群写像とする。このとき、
- [katex]n = 0[/katex] ならば、[katex]\pi_n[/katex] は [katex]\infty[/katex]-圏 [katex]\mathcal{EM}_0(\mathcal{X})[/katex] から [katex]\text{Disc}(\mathcal{X})[/katex] の起点付き対象の圏（のnerve）への同型を誘導する。
- [katex]n = 1[/katex] ならば、[katex]\pi_n[/katex] は [katex]\infty[/katex]-圏 [katex]\mathcal{EM}_1(\mathcal{X})[/katex] から [katex]\text{Disc}(\mathcal{X})[/katex] の群対象の圏（のnerve）への同型を誘導する。
- [katex]n \geq 2[/katex] ならば、[katex]\pi_n[/katex] は [katex]\infty[/katex]-圏 [katex]\mathcal{EM}_n(\mathcal{X})[/katex] から [katex]\text{Disc}(\mathcal{X})[/katex] のアーベル群対象の圏（のnerve）への同型を誘導する。
[katex]n = 2[/katex] のときは、[katex]\mathcal{EM}_1(\mathcal{X})\simeq\mathcal{G}\text{rp}(\mathcal{X})[/katex] の各群対象の群構造と、[katex]\mathcal{G}\text{rp}(\mathcal{G}\text{rp}(\mathcal{X}))[/katex] の外側の群対象としての構造が、各群対象に存在するのでEckmann-Hiltonの議論により各群対象はアーベル群対象になることがわかります。
[katex]\infty[/katex]-トポス [katex]\mathcal{X}[/katex] をひとつ選び、その終対象を [katex]1_\mathcal{X}\in\mathcal{X}[/katex] とし [katex]n \geq 0[/katex] をある整数とします。上の命題により [katex]\pi[/katex] に対してあるホモトピー逆写像が存在します。それを
[katex]K(-,n) : A \mapsto (p : 1_\mathcal{X} → K(A,n)),[/katex]
と表すことにします。ここで [katex]A[/katex] は [katex]n = 0[/katex] のときはトポス [katex]\text{Disc}(\mathcal{X})[/katex] の基点付き対象、[katex]n = 1[/katex] のときは群対象、[katex]n \geq 2[/katex] のときはアーベル群対象とします。
関手 [katex]A \mapsto K(A,n)[/katex] は有限直積を保ちます。これはEilenberg-MacLane対象の類が有限積に関して閉じていることと関手 [katex]π[/katex] が有限直積を保つことから保証されます。
Cohomology Group
Let [katex]\mathcal{X}[/katex] を [katex]\infty[/katex]-トポスとし、[katex]n \geq 0[/katex] を整数、[katex]A[/katex] をトポス [katex]\text{Disc}(\mathcal{X})[/katex] の群対象とする。このとき、
[katex]\text{H}_n(_\mathcal{X}; A) = \pi_0 \text{Map}_\mathcal{X}(1_\mathcal{X},K(A,n));[/katex]
と定義する。[katex]\text{H}_n(_\mathcal{X}; A)[/katex] を、係数を [katex]A[/katex] にもつ [katex]\mathcal{X}[/katex] のnコホモロジー群と呼ぶ。
定義により [katex]\text{H}^n(\mathcal{X};A)[/katex] は [katex]A[/katex] 上で関数的です。さらにこの関手は有限直積を保ちます。もし [katex]A[/katex] がアーベル群ならば、積写像 [katex]A\times A\to A[/katex] は [katex]\text{H}^n(\mathcal{X};A)[/katex] 上の群構造を与えます。従ってこの意味で、[katex]\text{H}^n(\mathcal{X};A)[/katex] をコホモロジー群と呼ぶことにします。
※参考文献
J. Lurie, Higher Topos Theory.
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