Category: Mathematics

Connection 定義（T.6.5.1.10） Let [katex]f : X → Y[/katex] を [katex]\infty[/katex]-トポス [katex]\mathcal{X}[/katex] の射とし [katex]0 \leq n \leq \infty[/katex] とする。[katex]f[/katex] が [katex]n[/katex]-連結であるとは、それがeffective epimorphismかつ [katex]0 \leq n \leq n[/katex] に対して [katex]\pi_k(f) = \ast[/katex] であると定義する。対象 [katex]\mathcal{X}[/katex] が [katex]n[/katex]-連結であるとは [katex]f : X → 1_\mathcal{X}[/katex] が [katex]n[/katex]-連結であると定義する。ここで [katex]1_\mathcal{X}[/katex] は [katex]\mathcal{X}[/katex] の終対象とする。簡便のため、[katex]\mathcal{X}[/katex] の任意の射 [katex]f[/katex] は [katex](-1)[/katex]-連結であるとする。 連結ならばホモトピー同値であるというWhiteheadの定理の類似を述べるためにはまた別の概念を要するので、それはまた別の機会に述べることにします。 Eilenberg-MacLane Object 定義（T.7.2.2.1） [katex]\mathcal{X}[/katex] を…

古典ホモトピー論において、（基点付き）空間 [katex]X[/katex] の最も重要な不変量はそのホモトピー群 [katex]\pi_i(X,x)[/katex] です。 ここでは任意の [katex]\infty[/katex]-トポス [katex]\mathcal{X}[/katex] の対象 [katex]X[/katex] に対し、類似の不変量を定義したいと思います。[katex]\infty[/katex]-トポスについてはまた詳しく述べたいと思いますのでここでは、ある条件を満たす特別な [katex]\infty[/katex]-圏と思ってください。 [katex]\infty[/katex]-トポスにおけるホモトピー群の定義は通常の群でなく、代わりに底トポスを [katex]\text{Disc}(\mathcal{X})[/katex] とする、群を値に持つ層で定義されます。 ここで定義したホモトピーの性質についてはまた別の機会に述べたいと思います。 Truncation 定義（T.2.3.4.15） Let [katex]k \leq -1[/katex] を整数とする。Kan複体 [katex]X[/katex] が [katex]k[/katex]-truncated であるとは、任意の [katex]i > k[/katex] と任意の点 [katex]x \in X[/katex] に対し、 [katex]\pi_i(X, x) \simeq \ast.[/katex] となることと定義する。簡便のため、[katex]X[/katex] が [katex](-2)[/katex]-truncated であるとは、[katex]X[/katex] が可縮のときとする。 定義（T.5.5.6.1） [katex]\mathcal{C}[/katex] を [katex]\infty[/katex]-圏とし [katex]k \leq -1[/katex] を整数とする。 [katex]\mathcal{C}[/katex] の対象 [katex]C[/katex]…

The ∞-Category of pointed spaces 定義（T.1.2.16.1） 基点付き単体圏 [katex]\mathcal{K}\text{an}_\ast[/katex] を [katex](\mathcal{S}\text{et}_\Delta)_\ast[/katex] の基点付きKan複体からなる充満部分圏とする。このとき、[katex]\mathcal{S}_\ast = \text{N}(\mathcal{K}\text{an}_\ast)[/katex] を基点付き空間の[katex]\infty[/katex]-圏と定義する。 [katex]\mathcal{K}\text{an}_\ast[/katex] の任意の対象の対 [katex]X, Y[/katex] に対し、基点付き単体集合 [katex]\text{Map}_{\mathcal{K}\text{an}_\ast}(X, Y) = Y^X[/katex] はKan複体なので、[katex]\mathcal{S}_\ast[/katex] は [katex]\infty[/katex]-圏になります。 Spectrum object ここでは極限と余極限を持つ任意の [katex]\infty[/katex]-圏に対し、[katex]\mathcal{C}[/katex] のスペクトラム対象から成る安定 [katex]\infty[/katex]-圏 [katex]\text{Sp}(\mathcal{C})[/katex] が構成します。 特に、[katex]\mathcal{C}[/katex] を空間の [katex]\infty[/katex]-圏とした場合は、古典安定ホモトピー論になります。 定義（S.8.1） Let [katex]\mathcal{C}[/katex] be an [katex]\infty[/katex]-圏とする。A prespectrum object of [katex]\mathcal{C}[/katex] のprespectrum対象とは以下の条件を満たす関手 [katex]X : \text{N}(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}) \to\mathcal{C}[/katex] のこと: 任意の整数対 [katex]i…

Cokernel 命題（S.2.6） [katex]\mathcal{C}[/katex]を基点付き[katex]\infty[/katex]-圏とし、[katex]g:X\to Y[/katex]を[katex]\mathcal{C}[/katex]の射とする。[katex]g[/katex]の余核とは、以下の余完全三角（＝pushout square）をいう; [katex display=true]\begin{CD} @. X @>g>> Y \\ @. @VVV \ulcorner @VVV \\ @. 0 @>>> Z. \end{CD}[/katex] このとき、[katex]W[/katex]を[katex]g[/katex]の余核と呼び、[katex]\text{coker}(g)[/katex]と書く。 [katex]\mathcal{C}[/katex]を基点付き[katex]\infty[/katex]-圏とし、[katex]g:X\to Y[/katex]を[katex]\mathcal{C}[/katex]の射とします。 もし余核は存在すれば、ホモトピー同型を除いて一意となることを示します。 [katex]\mathcal{E}\subseteq\text{Fun}(\Delta^1\times\Delta^1,\mathcal{C})[/katex]を余完全三角からなる充満部分圏とします。 [katex]\theta:\mathcal{E}\to\text{Fun}(\Delta^1,\mathcal{C})[/katex]を忘却関手とし、[katex]g[/katex]に対応する図式を [katex display=true]\begin{CD}@. X @>g>> Y \\@. @VVV \ulcorner @VVV \\@. 0 @>>> Z.\end{CD}[/katex] とします。 T.4.3.2.15を適用することで [katex]\theta[/katex] がKan fibrationであり、そのfibersは空集合または可縮のいずれかです。 [katex]\begin{array}{ccccc}\mathcal{E} & \xrightarrow{\theta} & \text{Fun}(\Delta^1,\mathcal{C}) \\ \\^\exists \bigcirc &…

球面の安定ホモトピー群を計算するためのAdams-Novikovスペクトル系列のE2項は [katex]E_2^{\ast,\ast} = \text{Ext}_{BP_\ast BP}^{\ast,\ast}(BP_\ast,BP_\ast)[/katex] になります。 今回、というか今シリーズはこの右辺を計算するためのcobar complexの定義をしたいと思います。 流れとしては、 [katex]\text{Hom}_{BP_\ast BP}^{\ast,\ast}(BP_\ast, – )[/katex] の右導来関手による複体を計算しやすいある加群に置き換えること、そして [katex]BP_\ast[/katex] 余加群の標準的な射影分解（projective resolution）を見つけることが大きな目標になります。 [katex]K[/katex]を可換環とします。 [katex]K[/katex]上のHopf亜代数（Hopf algebroid）とは可換[katex]K[/katex]代数の圏の、亜群対象のことを言います。が、この定義はピンと来ないので代わりの具体的な定義を述べます。 [katex]K[/katex]上のHopf亜代数の定義は以下のとおりです。 命題（HTT 4.3.2.15） [katex]K[/katex]を可換環とする。[katex]K[/katex]上Hopf亜代数とは、以下の構造射を持つ可換[katex]K[/katex]代数の対[katex](A, \Gamma)[/katex]のこと。 [katex] \begin{array}{ll} \eta_L:A\to\Gamma & left\ unit, \\ \eta_R:A\to\Gamma & right\ unit, \\ \Delta:A\to\Gamma\otimes_A\Gamma & coproduct, \\ \varepsilon:\Gamma\to A & counit, \\ c:\Gamma\to\Gamma & conjugation. \end{array} [/katex] ここで [katex]\Gamma[/katex] は [katex]C[/katex]に関し左[katex]A[/katex]-加群であり[katex]C[/katex]に関して右[katex]A[/katex]-加群。[katex]C[/katex]は通常のテンソル積。[katex]C[/katex]と[katex]C[/katex]は[katex]A[/katex]加群の射。更にこれらの構造射は以下の条件を満たすものとする。…

今回はLean4でCantorの定理（と同等の定理）を証明します。 Cantorの定理 集合Aに対し、集合Aからその冪集合への全射写像 [katex]f : A \to 2^A[/katex] は存在しない。 ※厳密なCantorの定理はCardinalを定義する必要がありますので、その話はまた別の機会に行いたいと思います。 Lean4でCantorの定理は以下でかけます。 これをLean4で解いてみます。 Cantorの定理を証明する場合、αのある部分集合を使って証明する手法がよく採用されます。 Cantorの補題 Aを集合Aとし、fを集合Aからその冪集合への写像 [katex]f : A \to 2^A[/katex] とする。このとき、Bを [katex]\{ a \in A | a \notin f(a) \}[/katex] とすると、 [katex]f(a)=B[/katex] なる [katex]a \in A[/katex] は存在しない。 この補題を絡めて、証明を途中まで埋めます。 Cantorの補題の証明は [katex]a \in A[/katex] と、[katex]a \notin A[/katex] についてどちらも矛盾となることで示します。 Lean4の証明でもその方針で証明してみます。Lean4で排中律を使いたい場合は by_cases を使います。 sorryの部分を埋めます。 D ∈ f D の場合…

M_ellの定義より、R上の楕円曲線は射f:Spec(R)→M_ellでした。楕円曲線の、切断eに沿って決まる、形式完備化 [katex]\hat{C}[/katex] は形式群の構造を持ちます。 MP0をperiodic complex cobordismの0-空間。M_FGを形式群に関するstackとします。このとき、形式群MP0→RがLandweber完全であるとは、射 [katex]\text{Spec}(R)\to \text{Spec}(MP_0)\to \mathcal{M}_{(MP_0,MP_0MP)}\cong \mathcal{M}_{FG}[/katex] が平坦であることと同値になります。 上の対応 [katex]C\to\hat{C}[/katex] により、[katex]\mathcal{F}:\mathcal{M}_{ell}\to\mathcal{M}_{FG}, C\mapsto \hat{C}:\text{MP}_0\to R[/katex] が得られます。HopkinsとMillerはこの対応が平坦であることを示しました。もし、f:Spec(R)→M_ellを平坦と仮定すると、合成 [katex]\text{Spec}(R) \xrightarrow{f} \mathcal{M}_{ell} \xrightarrow{\mathcal{F}} \mathcal{M}_{FG}[/katex] も平坦、よって、形式群 [katex]\hat{C}:\text{MP}_0\to R[/katex] はLandweber完全。従って、関手 [katex]\text{Ell}_{C/R}(-) = \text{MP}_\ast(-) \otimes_{\text{MP}_0} R[/katex] はcohomology論になります。 楕円曲線のmoduli stack上のAffine平坦スキームのsiteから、cohomology論へのpresheafをO^homと定義することにします： [katex]\mathcal{O}^{\text{hom}} : (\text{Aff}/\mathcal{M}_{ell}) \to \{\text{Cohomology theories}\} [/katex] 従って、楕円曲線に対して、ひとつの楕円cohomology論が対応します。 参考文献： Johan Konter, The homotopy groups of the spectrum Tmf

体K上の楕円曲線とは、種数1の、K上非特異射影代数曲線（とK上の点の対）のことを言います。 スキームS上の楕円曲線とは、properかつ平坦な有限射p:C→Sで、切断e:S→Cを持ち、任意のpの幾何fiberが前の定義の楕円曲線になるもののことを言います。 楕円曲線のような代数幾何的な対象を分類するためには、一般にmoduli問題を考えます。この場合、関手F:Aff^op→Sets、Spec(R)→{Spec(R)上楕円曲線の同型類の集合}のことになります。 今、Fが表現可能、即ちあるスキームMにより表現可能と仮定すると、以下の同型が存在するということになります： [katex]\text{Hom}(\text{Spec}(R),M)\cong F(\text{Spec}(R)) = \{ \text{isom class of elliptic curve }C\to \text{Spec}(R) \}[/katex] 、ただしSpec(R)は任意のaffineスキームです。この場合、自己への射Hom(M,M)はM上の楕円曲線、即ちuniversalであると言います。 ところが、楕円曲線の自己同型群は非自明であり、この自然な同型は存在しません。さらに、Fはスキームによって表現されません。楕円曲線に関するmoduli問題は全く簡単ではありません。 楕円曲線に関するより正しい問題の立て方は、Fを楕円曲線のstackとみなすこと、即ちFを、F:Aff^op→Groupoidsとみなすことです。この場合、AffineスキームSpec(R)に対し、F(Spec(R))はSpec(R)上の楕円曲線のgroupoidとなります。 M_ellをSpec(Z)の楕円曲線のmoduli stackを表すことにします。 [katex]\mathcal{M}_{\overline{ell}}[/katex] で、一般楕円曲線のmoduli stackを表すことにします。一般楕円曲線とは、p:C→Sのfiberがnodal singularityを持つことを許し、切断eはfiberのなめらかなlocasに含まれていると定義されます。このstackはM_ellのDeligne－Mumfordコンパクト化と呼ばれています。 さらに、[katex]\mathcal{M}^+_{\overline{ell}}[/katex] を、Weierstrass楕円曲線のmoduli stackとします。即ち、切断に関係なく、fiberがcuspを持つことを許したものです。 このとき、open substackとしての埋め込み [katex]\mathcal{M}_{ell}\to \mathcal{M}_{\overline{ell}} \to \mathcal{M}^+_{\overline{ell}}[/katex] が存在します。 参考文献： Johan Konter, The homotopy groups of the spectrum Tmf

[katex]\gamma: \Omega\mathcal{U}(4) \to \Omega\mathcal{U} \approx \mathbb{Z}\times B\mathcal{U}[/katex] とし、[katex]\mathcal{Y} = (\Omega\mathcal{U}(4))^\gamma[/katex] を対応する Thom spectrum とします。 Hopf algebroid [katex](A, \Gamma)[/katex] [katex]A = \mathbb{Z}[a_1, a_2, a_3, a_4, a_6][/katex] [katex]\Gamma = A[r, s, t, \lambda^\pm][/katex] に対し、字数付き Hopf algebroid [katex](A_\ast, \Gamma_\ast)[/katex] を、 [katex]A_{2n} = \Gamma(\text{Spec(A)}, \omega^n_C), \Gamma_{2n} = \Gamma(\text{Spec}(\Gamma), \omega^n_C)[/katex] と定義する。このとき、 [katex]A_t = \Gamma_t = 0 \text{ if }t\text{ is…

定理 [katex]\mathcal{M}_{\overline{ell}}[/katex] を安定楕円曲線の moduli stack とする。 このとき、 [katex]\mathcal{M}_{\overline{ell}}[/katex] 上の affine etale site から [katex]E_\infty[/katex]-環の圏への関手 [katex]\mathcal{O}^{top}:(\text{Aff}^{et}_{\mathcal{M}_{\overline{ell}}})^{op}\to \text{Alg}_{E_\infty}[/katex] で以下を満たすものが存在する： 任意の affine etale射 [katex]\text{Spec}R\to \mathcal{M}_{\overline{ell}}[/katex] に対し、[katex]\mathcal{O}^{top}(\text{Spec}R)[/katex] が even-periodic [katex]E_\infty[/katex]-代数で、関手同型 [katex]\pi(\mathcal{O}^{top}(\text{Spec}R))[/katex] となる。 任意の [katex]\text{Spec}R\to \mathcal{M}_{\overline{ell}}[/katex] は一般楕円曲線 [katex]C\to \text{Spec}R[/katex] を分類し、[katex]\mathcal{O}^{top}(\text{Spec}R)[/katex] の形式群と [katex]C[/katex] の形式群 [katex]\hat{C}[/katex] の間の同型関手 [katex]\text{Spc}(\mathcal{O}^{top}(\text{Spec}R)^0(\mathcal{CP}^\infty))\cong \hat{C}[/katex] が存在する。 関手 [katex]\mathcal{O}^{top}(\text{Spec}R)[/katex] は etale 位相に関する層で、[katex]\mathcal{M}_{\overline{ell}}[/katex] の etale site 上の [katex]E_\infty[/katex]-環の層に拡張される。 [katex]M_{FG}[/katex] を形式群の…