Axiomatic Stable Homotopy Theory

三角圏 [katex]C[/katex] の 局所部分圏とは以下を満たす充満部分圏 [katex]D[/katex] を指す。

1. 任意の cofiber列 [katex]X\to Y\to Z \to \Sigma X[/katex] に対し、[katex]X, Y, Z[/katex] の2つが [katex]D[/katex] の対象なら残りも [katex]D[/katex] 対象。

2. [katex]D[/katex] の任意の余積もまた [katex]D[/katex] の対象。

3. [katex]Y \in D[/katex] かつ写像 [katex]X \xrightarrow{i} Y \xrightarrow{p} X[/katex] が [katex]p\circ i = 1[/katex] なら [katex]X \in D[/katex]。

[katex]C[/katex] を閉対象モノイダル加法圏とし、それぞれ、モノイダル積 [katex]X\land Y[/katex] 、単位 [katex]S[/katex] 、内部射の対象 [katex]F(X, Y)[/katex] とする。このとき、[katex][X,Y][/katex] で [katex]C[/katex] 内のの [katex]X[/katex] から [katex]Y[/katex] への 射の集合表すとする。 [katex]C[/katex] の対象 [katex]X \in C[/katex] かが強双対的であるとは、自然な写像 [katex]F(X, S)\land Y \to F(X, Y)[/katex] が [katex]Y \in C[/katex] について同型であると定義する。対象 [katex]X \in C[/katex] がsmallであるとは、自然な写像 [katex]\bigoplus_i [X, Y_i] \to [X, \coprod_i Y_i][/katex] が、 [katex]C[/katex] に存在するすべての余積について成り立つことと定義する。

[katex]C[/katex] を三角圏、[katex]Ab[/katex] アーベル群の圏とする。

1. 加法関手 [katex]H : C \to Ab[/katex] が完全であるとは、cofiber列 [katex]X \xrightarrow{f} Y \xrightarrow{g} Z \xrightarrow{h} \Sigma X[/katex] に対し、誘導された列 [katex]H(X) \xrightarrow{H(f)} H(Y) \xrightarrow{H(g)} H(Z)[/katex] が完全列であると定義する。反変加法関手についても同様。
2. 完全関手 [katex]H:C\to Ab[/katex] が homology関手であるとは、余積を直和に移す射のこと。反変完全関手 [katex]H:C^\text{op}\to Ab[/katex] が cohomology関手であるとは、余積を直積に移す射のこと。
3. [katex]C[/katex] の対象 [katex]Y[/katex] に対し、関手 [katex]X\mapsto [X, Y][/katex] を [katex]Y^0[/katex] とかく。即ち、[katex]Y^0[/katex] は cohomology 関手になる。与えられた cohomology 関手 [katex]H[/katex] が表現可能であるとは、ある [katex]C[/katex] の対象 [katex]Y[/katex] が存在して、関手 [katex]H[/katex] と [katex]Y^0[/katex] の間の自然同型が存在することと定義する。

安定 homotopy 圏とは以下の構造を持つ圏 [katex]C[/katex] のことを言う。

1. 三角圏の構造を持つ。
2. 三角構造とコンパチブルな、閉対称モノイダル構造を持つ。
3. [katex]C[/katex] の強双対対象からなる集合 [katex]G[/katex] が存在する。即ち、[katex]G[/katex] を含む局所部分圏は [katex]C[/katex] それ自身のみとなる [katex]G[/katex] が存在する。