Author: furea2

M_ellの定義より、R上の楕円曲線は射f:Spec(R)→M_ellでした。楕円曲線の、切断eに沿って決まる、形式完備化 [katex]\hat{C}[/katex] は形式群の構造を持ちます。 MP0をperiodic complex cobordismの0-空間。M_FGを形式群に関するstackとします。このとき、形式群MP0→RがLandweber完全であるとは、射 [katex]\text{Spec}(R)\to \text{Spec}(MP_0)\to \mathcal{M}_{(MP_0,MP_0MP)}\cong \mathcal{M}_{FG}[/katex] が平坦であることと同値になります。 上の対応 [katex]C\to\hat{C}[/katex] により、[katex]\mathcal{F}:\mathcal{M}_{ell}\to\mathcal{M}_{FG}, C\mapsto \hat{C}:\text{MP}_0\to R[/katex] が得られます。HopkinsとMillerはこの対応が平坦であることを示しました。もし、f:Spec(R)→M_ellを平坦と仮定すると、合成 [katex]\text{Spec}(R) \xrightarrow{f} \mathcal{M}_{ell} \xrightarrow{\mathcal{F}} \mathcal{M}_{FG}[/katex] も平坦、よって、形式群 [katex]\hat{C}:\text{MP}_0\to R[/katex] はLandweber完全。従って、関手 [katex]\text{Ell}_{C/R}(-) = \text{MP}_\ast(-) \otimes_{\text{MP}_0} R[/katex] はcohomology論になります。 楕円曲線のmoduli stack上のAffine平坦スキームのsiteから、cohomology論へのpresheafをO^homと定義することにします： [katex]\mathcal{O}^{\text{hom}} : (\text{Aff}/\mathcal{M}_{ell}) \to \{\text{Cohomology theories}\} [/katex] 従って、楕円曲線に対して、ひとつの楕円cohomology論が対応します。 参考文献： Johan Konter, The homotopy groups of the spectrum Tmf

体K上の楕円曲線とは、種数1の、K上非特異射影代数曲線（とK上の点の対）のことを言います。 スキームS上の楕円曲線とは、properかつ平坦な有限射p:C→Sで、切断e:S→Cを持ち、任意のpの幾何fiberが前の定義の楕円曲線になるもののことを言います。 楕円曲線のような代数幾何的な対象を分類するためには、一般にmoduli問題を考えます。この場合、関手F:Aff^op→Sets、Spec(R)→{Spec(R)上楕円曲線の同型類の集合}のことになります。 今、Fが表現可能、即ちあるスキームMにより表現可能と仮定すると、以下の同型が存在するということになります： [katex]\text{Hom}(\text{Spec}(R),M)\cong F(\text{Spec}(R)) = \{ \text{isom class of elliptic curve }C\to \text{Spec}(R) \}[/katex] 、ただしSpec(R)は任意のaffineスキームです。この場合、自己への射Hom(M,M)はM上の楕円曲線、即ちuniversalであると言います。 ところが、楕円曲線の自己同型群は非自明であり、この自然な同型は存在しません。さらに、Fはスキームによって表現されません。楕円曲線に関するmoduli問題は全く簡単ではありません。 楕円曲線に関するより正しい問題の立て方は、Fを楕円曲線のstackとみなすこと、即ちFを、F:Aff^op→Groupoidsとみなすことです。この場合、AffineスキームSpec(R)に対し、F(Spec(R))はSpec(R)上の楕円曲線のgroupoidとなります。 M_ellをSpec(Z)の楕円曲線のmoduli stackを表すことにします。 [katex]\mathcal{M}_{\overline{ell}}[/katex] で、一般楕円曲線のmoduli stackを表すことにします。一般楕円曲線とは、p:C→Sのfiberがnodal singularityを持つことを許し、切断eはfiberのなめらかなlocasに含まれていると定義されます。このstackはM_ellのDeligne－Mumfordコンパクト化と呼ばれています。 さらに、[katex]\mathcal{M}^+_{\overline{ell}}[/katex] を、Weierstrass楕円曲線のmoduli stackとします。即ち、切断に関係なく、fiberがcuspを持つことを許したものです。 このとき、open substackとしての埋め込み [katex]\mathcal{M}_{ell}\to \mathcal{M}_{\overline{ell}} \to \mathcal{M}^+_{\overline{ell}}[/katex] が存在します。 参考文献： Johan Konter, The homotopy groups of the spectrum Tmf

[katex]\gamma: \Omega\mathcal{U}(4) \to \Omega\mathcal{U} \approx \mathbb{Z}\times B\mathcal{U}[/katex] とし、[katex]\mathcal{Y} = (\Omega\mathcal{U}(4))^\gamma[/katex] を対応する Thom spectrum とします。 Hopf algebroid [katex](A, \Gamma)[/katex] [katex]A = \mathbb{Z}[a_1, a_2, a_3, a_4, a_6][/katex] [katex]\Gamma = A[r, s, t, \lambda^\pm][/katex] に対し、字数付き Hopf algebroid [katex](A_\ast, \Gamma_\ast)[/katex] を、 [katex]A_{2n} = \Gamma(\text{Spec(A)}, \omega^n_C), \Gamma_{2n} = \Gamma(\text{Spec}(\Gamma), \omega^n_C)[/katex] と定義する。このとき、 [katex]A_t = \Gamma_t = 0 \text{ if }t\text{ is…

定理 [katex]\mathcal{M}_{\overline{ell}}[/katex] を安定楕円曲線の moduli stack とする。 このとき、 [katex]\mathcal{M}_{\overline{ell}}[/katex] 上の affine etale site から [katex]E_\infty[/katex]-環の圏への関手 [katex]\mathcal{O}^{top}:(\text{Aff}^{et}_{\mathcal{M}_{\overline{ell}}})^{op}\to \text{Alg}_{E_\infty}[/katex] で以下を満たすものが存在する： 任意の affine etale射 [katex]\text{Spec}R\to \mathcal{M}_{\overline{ell}}[/katex] に対し、[katex]\mathcal{O}^{top}(\text{Spec}R)[/katex] が even-periodic [katex]E_\infty[/katex]-代数で、関手同型 [katex]\pi(\mathcal{O}^{top}(\text{Spec}R))[/katex] となる。 任意の [katex]\text{Spec}R\to \mathcal{M}_{\overline{ell}}[/katex] は一般楕円曲線 [katex]C\to \text{Spec}R[/katex] を分類し、[katex]\mathcal{O}^{top}(\text{Spec}R)[/katex] の形式群と [katex]C[/katex] の形式群 [katex]\hat{C}[/katex] の間の同型関手 [katex]\text{Spc}(\mathcal{O}^{top}(\text{Spec}R)^0(\mathcal{CP}^\infty))\cong \hat{C}[/katex] が存在する。 関手 [katex]\mathcal{O}^{top}(\text{Spec}R)[/katex] は etale 位相に関する層で、[katex]\mathcal{M}_{\overline{ell}}[/katex] の etale site 上の [katex]E_\infty[/katex]-環の層に拡張される。 [katex]M_{FG}[/katex] を形式群の…

定義 三角圏 [katex]C[/katex] の 局所部分圏とは以下を満たす充満部分圏 [katex]D[/katex] を指す。 任意の cofiber列 [katex]X\to Y\to Z \to \Sigma X[/katex] に対し、[katex]X, Y, Z[/katex] の2つが [katex]D[/katex] の対象なら残りも [katex]D[/katex] 対象。 [katex]D[/katex] の任意の余積もまた [katex]D[/katex] の対象。 [katex]Y \in D[/katex] かつ写像 [katex]X \xrightarrow{i} Y \xrightarrow{p} X[/katex] が [katex]p\circ i = 1[/katex] なら [katex]X \in D[/katex]。 定義 [katex]C[/katex] を閉対象モノイダル加法圏とし、それぞれ、モノイダル積 [katex]X\land Y[/katex] 、単位 [katex]S[/katex] 、内部射の対象 [katex]F(X, Y)[/katex]…

命題（HTT 4.3.2.15） 与えられた [katex]\infty[/katex]-圏の図式 [katex]C \to D’ \xleftarrow{p} D[/katex] ただし [katex]p[/katex] は categorical fibration とする。 [katex]C^0[/katex] を [katex]C[/katex] の充満部分圏とする。[katex]K \subset \text{Map}_{D’}(C, D)[/katex] を [katex]F|C^0[/katex] の [katex]p[/katex]-左Kan拡張となる関手 [katex]F : C \to D[/katex] で満たされる充満部分圏とする。[katex]K’ \subset \text{Map}_{D’}(C^0, D)[/katex] を、任意の対象 [katex]c \in C[/katex] 関して誘導された図式 [katex]C^0_{/c} \to D[/katex] が [katex]p[/katex]-余極限を持つようなもので満たされる充満部分圏とする。この時、制限関手 [katex]p[/katex] は単体集合の自明 fibration となる。 例 命題の主張を少し簡単にして、[katex]D’ = \Delta^0[/katex] としてみる。 命題（HTT…

古典的Kan拡張 [katex]C[/katex] と [katex]J[/katex] を通常の圏として、[katex]\delta : C \to C^J[/katex] を自明な対角関手とします。この時もし [katex]C[/katex] が任意の小さな余極限を持つならば、[katex]\delta[/katex] は左随伴 [katex]\underrightarrow{\text{lim}} : C^J \to C[/katex] を持ちます。従って、余極限の理論は対角関手の左随伴の研究と考えることが出来ます。 より一般に、関手 [katex]i : J \to J'[/katex]が与えられた時、[katex]i[/katex] の合成により関手 [katex]J[/katex] を誘導します。この時 [katex]C[/katex] が十分な余極限を持てば、[katex]i[/katex] に関する左随伴が構成可能です。この時、この左随伴を、[katex]i[/katex] に関する左Kan拡張と呼びます。 余極限対 定義（HTT 4.3.1.1） [katex]f : C \to D[/katex] を inner fibration、[katex]\overline{p} : K^\triangleright \to C[/katex] を図式、[katex]p = \overline{p}|K[/katex] とする。この時、[katex]\overline{p}[/katex] が [katex]p[/katex] の [katex]f[/katex]-余極限であるとは、写像…

[katex]\infty[/katex]-圏の圏を考えるとき、ordinary圏の中で理論を展開するのはナンセンスです。ordonary圏の一般化として様々なものがありますが、やはりここは [katex]\infty[/katex]-圏、即ち、[katex]\infty[/katex]-圏の [katex]\infty[/katex]-圏を考えたいですよね。 Infinity Category of Infinity Category 定義（HTT 3.0.0.1） 単体圏 [katex]Cat^\Delta_\infty[/katex] を以下で定義する。 [katex]Cat^\Delta_\infty[/katex] の対象は（小さな） [katex]\infty[/katex]-圏。 [katex]\infty[/katex]-圏 [katex]C[/katex]、[katex]D[/katex] に対し、射の対象（＝単体集合）[katex]\text{Map}_{Cat^\Delta_\infty}(C, D)[/katex] を [katex]\infty[/katex]-圏 [katex]Fun(C, D)[/katex] に含まれる最大のKan複体で定義する。 さらに、[katex]Cat_\infty[/katex] で [katex]\text{N}(Cat^\Delta_\infty)[/katex] を表すとし、[katex]Cat_\infty[/katex] を（小さな）[katex]\infty[/katex]-圏 の [katex]\infty[/katex]-圏 とみなすことにする。 [katex]Cat_\infty[/katex] の射対象はKan複体なので、それ自体ちゃんと [katex]\infty[/katex]-圏となっています。 上の定義は、小さな [katex]\infty[/katex]-圏のみを対象としています。小さいと限らない [katex]\infty[/katex]-圏については [katex]\widehat{Cat}_\infty[/katex] で表すことにします。 Limits and Colimits 圏の構成問題でやはり気になるのは極限です。HTTでは極限・余極限を直接定義している他、[katex]Cat_\infty[/katex] をある simplicial model category [katex]\mathbf{A}[/katex] に付随する圏として実現し、[katex]Cat_\infty[/katex] の極限・余極限の存在性を [katex]\mathbf{A}[/katex] のhomotopy極限・homotopy余極限の存在に帰着させる方法が紹介されています。その鍵となるのは以下の定理です。 系（HTT 4.2.4.8） [katex]\mathbf{A}[/katex] を combinatorial simplicial model category とする。このとき、…

accessible category（以後、到達可能圏と呼ぶ）とは、極限についてsmallの条件を課したものである。通常、大きな圏を扱うことが多い。ところが、粗い言い方をしてよければ、極限の議論をする上では大きな集合についての極限を数学的対象として扱うことは少ない。極限の議論をすることは最初から小さな極限に限って良いことになる。この仮定を数学的に定式化したものが到達可能圏である。 定義（Accessible Category） 局所小な圏 [katex]C[/katex] がある正則基数 [katex]\kappa[/katex] に対し、 [katex]\kappa[/katex] – accessible （ [katex]\kappa[/katex] – 到達可能）であるとは、 [katex]C[/katex] が accessible （到達可能）であるとは、ある [katex]\kappa[/katex] が存在してそれが [katex]\kappa[/katex] – accessible であることを言う。 無限圏のバージョン定義は以下となる。 定義（Accessible  [katex]\infty[/katex] – Category） 局所小な圏 [katex]C[/katex] がある正則基数 [katex]\kappa[/katex] に対し、 [katex]\kappa[/katex]-accessible （ [katex]\kappa[/katex] -到達可能）であるとは、ある小さな [katex]\infty[/katex] – 圏 [katex]C^0[/katex] と以下の同型が存在することを言う。 [katex]C[/katex] が accessible （到達可能）であるとは、ある [katex]\kappa[/katex] が存在してそれが [katex]\kappa[/katex] – accessible であることを言う。 上の定義がaccessibleである理由。 命題（HTT 5.4.2.2.） [katex]\infty[/katex] – 圏 [katex]C[/katex] と正則基数 [katex]\kappa[/katex] に対し、TFAE。 ※TFAE: The followigs are equivalent 参考文献：Michael Makkai, Robert Paré, Accessible categories: The…