accessible category（以後、到達可能圏と呼ぶ）とは、極限についてsmallの条件を課したものである。通常、大きな圏を扱うことが多い。ところが、粗い言い方をしてよければ、極限の議論をする上では大きな集合についての極限を数学的対象として扱うことは少ない。極限の議論をすることは最初から小さな極限に限って良いことになる。この仮定を数学的に定式化したものが到達可能圏である。
局所小な圏 [katex]C[/katex] がある正則基数 [katex]\kappa[/katex] に対し、 [katex]\kappa[/katex] – accessible （ [katex]\kappa[/katex] – 到達可能）であるとは、
[katex]C[/katex] が accessible （到達可能）であるとは、ある [katex]\kappa[/katex] が存在してそれが [katex]\kappa[/katex] – accessible であることを言う。
無限圏のバージョン定義は以下となる。
局所小な圏 [katex]C[/katex] がある正則基数 [katex]\kappa[/katex] に対し、 [katex]\kappa[/katex]-accessible （ [katex]\kappa[/katex] -到達可能）であるとは、ある小さな [katex]\infty[/katex] – 圏 [katex]C^0[/katex] と以下の同型が存在することを言う。
[katex]C[/katex] が accessible （到達可能）であるとは、ある [katex]\kappa[/katex] が存在してそれが [katex]\kappa[/katex] – accessible であることを言う。
上の定義がaccessibleである理由。
[katex]\infty[/katex] – 圏 [katex]C[/katex] と正則基数 [katex]\kappa[/katex] に対し、TFAE。
※TFAE: The followigs are equivalent
参考文献：
Michael Makkai, Robert Paré, Accessible categories: The foundations of categorical model theory Contemporary Mathematics 104. American Mathematical Society, Rhode Island, 1989.1989.
Jacob Lurie, Higher Topos Theory
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