The ∞-Category of Spectra

The ∞-Category of pointed spaces

定義（T.1.2.16.1）

基点付き単体圏 $\mathcal{K}\text{an}_\ast$ を $(\mathcal{S}\text{et}_\Delta)_\ast$ の基点付きKan複体からなる充満部分圏とする。このとき、 $\mathcal{S}_\ast = \text{N}(\mathcal{K}\text{an}_\ast)$ を基点付き空間の $\infty$ -圏と定義する。

$\mathcal{K}\text{an}_\ast$ の任意の対象の対 $X, Y$ に対し、基点付き単体集合 $\text{Map}_{\mathcal{K}\text{an}_\ast}(X, Y) = Y^X$ はKan複体なので、 $\mathcal{S}_\ast$ は $\infty$ -圏になります。

Spectrum object

ここでは極限と余極限を持つ任意の $\infty$ -圏に対し、 $\mathcal{C}$ のスペクトラム対象から成る安定 $\infty$ -圏 $\text{Sp}(\mathcal{C})$ が構成します。

特に、 $\mathcal{C}$ を空間の $\infty$ -圏とした場合は、古典安定ホモトピー論になります。

定義（S.8.1）

Let $\mathcal{C}$ be an $\infty$ -圏とする。A prespectrum object of $\mathcal{C}$ のprespectrum対象とは以下の条件を満たす関手 $X : \text{N}(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}) \to\mathcal{C}$ のこと:

任意の整数対 $i \neq j$ に対し、値 $X(i, j)$ は $\mathcal{C}$ の零対象。

$\mathcal{C}$ のprespectrumから成る $\text{Fun}(\text{N}(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}), \mathcal{C})$ の充満部分圏を $\text{PSp}(\mathcal{C})$ と表す。任意の整数 $n$ に対し、 $(n, n) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ 上の値は関手 $\text{PSp}(\mathcal{C}) \to \mathcal{C}$ を誘導する。この関手をn番目空間関手とよび、 $\Omega_\mathcal{C}^{\infty-n}$ と表す。

$X$ を $\infty$ -圏 $\mathcal{C}$ のprespectrum対象とします。

$i \neq j$ のときの対象 $X(i, j) \in \mathcal{C}$ は零対象なので、それらを無視した残りの対象 $X(n, n) \in \mathcal{C}$ は対角線上に残ります。これらの対象 $X(n, n) = \Omega_\mathcal{C}^{\infty-n}X$ を $X[n]$ と表します。

任意の $n \geq 0$ に対し、図式

[katex display=true]\begin{CD}
@. X(n, n) @>>> X(n, n+1) \\
@. @VVV @VVV \\
@. X(n+1, n) @>>> X(n+1, n+1)
\end{CD}[/katex]

から以下の（随伴）写像の対が得られます

$\alpha : \Sigma_\mathcal{C} X[n] \to X[n + 1]\ \ \ \ \ \ \beta : X[n] → \Omega_\mathcal{C} X[n + 1].$

定義（S.8.4）

$X$ を起点付き $\infty$ -圏 $\mathcal{C}$ のprespectrum対象とし、 $n$ を整数とする。

$X$ が $n$ 以下でspectrumであるとは、自然な写像 $\beta : X[m-1] \to \Omega_\mathcal{C}X[m]$ が任意の $m\leq n$ に対し同型となること。

$X$ が $n$ 以上で懸垂prespectrumであるとは、自然な写像 $\alpha : \Sigma_\mathcal{C} X[m] \to X[m + 1]$ が任意の $m\geq n$ に対して同型となること。

$X$ が $n$ -懸垂prespectrumであるとは、 $n$ 以上で懸垂prespectrum かつ $n$ 以下でspectrumとなること。

$X$ がspectrum対象であるとは、任意の $n$ に対して、 $n$ 以下でspectrum対象となること。

$\text{Sp}(\mathcal{C})$ で $\mathcal{C}$ のspectrum対象から成る $\text{PSp}(\mathcal{C})$ の充満部分圏を表す。

$\mathcal{C}$ を任意の $\infty$ -圏とするとき、 $\text{Stab}(\mathcal{C}) = \text{Sp}(\mathcal{C}_\ast)$ と定義する。ここで $\mathcal{C}_\ast$ は $\mathcal{C}$ の起点付き対象から成る $\infty$ -圏とする。 $\text{Stab}(\mathcal{C})$ は $\mathcal{C}$ のstabilizationと呼ぶ。

$\mathcal{C}$ が良い $\infty$ -圏であればそのspectrum対象から成る圏は安定的になります。

命題（S.8.27）

$\mathcal{C}$ を極限と余極限を持つ起点付き $\infty$ -圏とする。このとき、

任意の対象 $X \in \text{Sp}(\mathcal{C})$ に対し、自然な写像 $X \to \Omega_{\text{Sp}(\mathcal{C})}S(X)$ は同型。
$\infty$ -圏 $\text{Sp}(\mathcal{C})$ は安定。