安定∞圏上の Suspension functor

Cokernel

[katex]\mathcal{C}[/katex]を基点付き[katex]\infty[/katex]-圏とし、[katex]g:X\to Y[/katex]を[katex]\mathcal{C}[/katex]の射とします。

もし余核は存在すれば、ホモトピー同型を除いて一意となることを示します。

[katex]\mathcal{E}\subseteq\text{Fun}(\Delta^1\times\Delta^1,\mathcal{C})[/katex]を余完全三角からなる充満部分圏とします。

[katex]\theta:\mathcal{E}\to\text{Fun}(\Delta^1,\mathcal{C})[/katex]を忘却関手とし、[katex]g[/katex]に対応する図式を

[katex display=true]\begin{CD}
@. X @>g>> Y \\
@. @VVV \ulcorner @VVV \\
@. 0 @>>> Z.
\end{CD}[/katex]

とします。

T.4.3.2.15を適用することで [katex]\theta[/katex] がKan fibrationであり、そのfibersは空集合または可縮のいずれかです。

[katex]
\begin{array}{ccccc}
\mathcal{E} & \xrightarrow{\theta} & \text{Fun}(\Delta^1,\mathcal{C}) \\ \\
^\exists \bigcirc & \mapsto & \{g:X\to Y\}
\end{array}
[/katex]

これは [katex]g : X \to Y[/katex] が [katex]\mathcal{C}[/katex] の中で余核を持つかどうかに依存します。cokernelを持たない場合は [katex]\mathcal{C}[/katex] の像に [katex]g : X \to Y[/katex] がないということになります。

[katex]\mathcal{C}[/katex] の任意の射が余核を持てば、[katex]\theta[/katex] は自明Kan fibrationとなり、特に全射となります。

従って、断面 [katex]\text{Fun}(\Delta^1, \mathcal{C}) \to \text{Fun}(\Delta^1 \times \Delta^1, \mathcal{C})[/katex] が存在して、可縮空間の取り方を除いて一意に定義されます。

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Suspension functor and Loop functor

[katex]\mathcal{C}[/katex] を任意の基点付き [katex]\infty[/katex]-圏 とします。

[katex]\mathcal{M}^\Sigma\subseteq\text{Fun}(\Delta^1\times\Delta^1,\mathcal{C})[/katex] を以下の図式

[katex display=true]\begin{CD}
@. X @>>> 0 \\
@. @VVV \ulcorner @VVV \\
@. 0′ @>>> Y
\end{CD}[/katex]

からなる充満部分圏とします。ここで図式はpushout、[katex]0[/katex] と [katex]0′[/katex] は [katex]\mathcal{C}[/katex] の零対象とします。

もし [katex]\mathcal{C}[/katex] の任意の射が余核を持てば、T.4.3.2.15 により、始対象を値とする値写像 [katex]\mathcal{M}^\Sigma \to \mathcal{C}[/katex] は自明fibrationになります。

[katex]
\begin{array}{ccccccc}
\mathcal{M}^\Sigma & \to & \text{Fun}(\Delta^1,\mathcal{C}) & \xrightarrow{\text{triv.}} & \mathcal{C} \\ \\
^\exists \bigcirc & \mapsto & \{g:X\to 0\} & \mapsto & X
\end{array}
[/katex]

[katex]s : \mathcal{C}\to\mathcal{M}^\Sigma[/katex] をこの自明fibrationのsectionとし、 [katex]e : \mathcal{M}^\Sigma \to \mathcal{C}[/katex] を終対象を値にとる関手とします。

すると合成 [katex]e\circ s[/katex] は [katex]\mathcal{C}[/katex] 上の自己関手です。この関手を [katex]\mathcal{C}[/katex] 上の懸垂関手と呼び、[katex]\Sigma : \mathcal{C} \to \mathcal{C}[/katex] と表します。

双対的に[katex]\mathcal{M}^\Omega[/katex] と [katex]\mathcal{C}[/katex] 上のloop関手も定義され、[katex]\Omega : \mathcal{C} \to \mathcal{C}[/katex] と表します。

もし [katex]\mathcal{C}[/katex] が安定的であるなら、完全と余完全は同値なので、[katex]\mathcal{M}^\Omega=\mathcal{M}^\Sigma[/katex] になります。

従って [katex]\Sigma[/katex] と [katex]\Omega[/katex] は互いに [katex]\mathcal{C}[/katex] 上で同型の逆写像の関係となります。

従って [katex]\mathcal{C}[/katex] が安定的であれば、三角圏の条件ひとつである加法圏の条件を満たしていることがわかりました。

参考文献：
Lurie, J. Derived Algebraic Geometry I: Stable ∞-Categories.