M_ellの定義より、R上の楕円曲線は射f:Spec(R)→M_ellでした。楕円曲線の、切断eに沿って決まる、形式完備化 [katex]\hat{C}[/katex] は形式群の構造を持ちます。
MP0をperiodic complex cobordismの0-空間。M_FGを形式群に関するstackとします。このとき、形式群MP0→RがLandweber完全であるとは、射
[katex]\text{Spec}(R)\to \text{Spec}(MP_0)\to \mathcal{M}_{(MP_0,MP_0MP)}\cong \mathcal{M}_{FG}[/katex]
が平坦であることと同値になります。
上の対応 [katex]C\to\hat{C}[/katex] により、[katex]\mathcal{F}:\mathcal{M}_{ell}\to\mathcal{M}_{FG}, C\mapsto \hat{C}:\text{MP}_0\to R[/katex] が得られます。HopkinsとMillerはこの対応が平坦であることを示しました。もし、f:Spec(R)→M_ellを平坦と仮定すると、合成
[katex]\text{Spec}(R) \xrightarrow{f} \mathcal{M}_{ell} \xrightarrow{\mathcal{F}} \mathcal{M}_{FG}[/katex]
も平坦、よって、形式群 [katex]\hat{C}:\text{MP}_0\to R[/katex] はLandweber完全。従って、関手
[katex]\text{Ell}_{C/R}(-) = \text{MP}_\ast(-) \otimes_{\text{MP}_0} R[/katex]
はcohomology論になります。
楕円曲線のmoduli stack上のAffine平坦スキームのsiteから、cohomology論へのpresheafをO^homと定義することにします：
[katex]\mathcal{O}^{\text{hom}} : (\text{Aff}/\mathcal{M}_{ell}) \to \{\text{Cohomology theories}\} [/katex]
従って、楕円曲線に対して、ひとつの楕円cohomology論が対応します。
参考文献：
Johan Konter, The homotopy groups of the spectrum Tmf
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