TMF 上の層

[katex]M_{FG}[/katex] を形式群の moduli stack とする。特に、[katex]M_{\overline{ell}}\to M_{FG}[/katex] を楕円曲線からその形式群への対応射とする時、層の同型

[katex] \pi_i \mathcal{\mathcal{O}}^{top} = \begin{cases}
0 &\text{if } i \text{ is odd} \\
\omega^{i/2} &\text{if } i \text{ is even}
\end{cases}[/katex]

が存在する。ここで [katex]M_{FG}[/katex] は、[katex]M_{FG}[/katex] の引き戻しである、[katex]M_{\overline{ell}}[/katex] 上の Lie 代数 bundle とする。

　ここで以下で [katex]\text{Tmf}[/katex] を定義する：

[katex]\text{Tmf} = \Gamma(\mathcal{M}_{\overline{ell}}, \mathcal{O}^{top})[/katex]

即ち、Tmf は [katex]\mathcal{M}_{\overline{ell}}[/katex] のetale上の affine scheme [katex]\text{Spec}(R)[/katex] に関するあらゆる楕円 spectra [katex]\mathcal{O}^{top}(R)[/katex] のhomotopy極限として定義します。従って、Tmf 射 は標準的にそのようなものであり、はじめはに ”普遍” 楕円 cohomology 論を指しているものでした。他にも、”topological modular forms” の名前に相応な spectra が存在します。例えば、なめらかな軌跡上の global section を取ることで得られる periodic 版の

[katex]\text{TMF} = \Gamma(\mathcal{M}_{ell}, \mathcal{O}^{top})[/katex]

が、また連結板である

[katex]\text{tmf} = \tau_{\ge 0}(\text{Tmf})[/katex]

が存在しています。

　この定義のもとで、decent spectral sequence

[katex]H^i(\mathcal{M}_{\overline{ell}}, \pi_i(\mathcal{O}^{top})) \Longrightarrow \pi_{j-i}(\text{Tmf})[/katex]

が得られます。以下のように書くことも可能です。

[katex]H^i(\mathcal{M}_{\overline{ell}}, \omega^j) \Longrightarrow \pi_{2j-i}(\text{Tmf})[/katex]

　この先、[katex]\pi_\ast\text{Tmf}[/katex] を計算するための、この spectral sequence をどのように使えばいいのかの概略を説明します。

まずは、[katex]H^i(\mathcal{M}_{\overline{ell}}, \omega^j)[/katex] の計算を説明します。そのために “代数的 Bockstain spectal sequence” の系列を使います。そして、どのようにして spectral sequence の微分を説明します。説明の多くは、Bauer と Rezk によります。その他の survey は Henriques があります。

参考：

Akhil Mthew, The Homotopy Groups of TMF (web)