Month: September 2021

M_ellの定義より、R上の楕円曲線は射f:Spec(R)→M_ellでした。楕円曲線の、切断eに沿って決まる、形式完備化 [katex]\hat{C}[/katex] は形式群の構造を持ちます。 MP0をperiodic complex cobordismの0-空間。M_FGを形式群に関するstackとします。このとき、形式群MP0→RがLandweber完全であるとは、射 [katex]\text{Spec}(R)\to \text{Spec}(MP_0)\to \mathcal{M}_{(MP_0,MP_0MP)}\cong \mathcal{M}_{FG}[/katex] が平坦であることと同値になります。 上の対応 [katex]C\to\hat{C}[/katex] により、[katex]\mathcal{F}:\mathcal{M}_{ell}\to\mathcal{M}_{FG}, C\mapsto \hat{C}:\text{MP}_0\to R[/katex] が得られます。HopkinsとMillerはこの対応が平坦であることを示しました。もし、f:Spec(R)→M_ellを平坦と仮定すると、合成 [katex]\text{Spec}(R) \xrightarrow{f} \mathcal{M}_{ell} \xrightarrow{\mathcal{F}} \mathcal{M}_{FG}[/katex] も平坦、よって、形式群 [katex]\hat{C}:\text{MP}_0\to R[/katex] はLandweber完全。従って、関手 [katex]\text{Ell}_{C/R}(-) = \text{MP}_\ast(-) \otimes_{\text{MP}_0} R[/katex] はcohomology論になります。 楕円曲線のmoduli stack上のAffine平坦スキームのsiteから、cohomology論へのpresheafをO^homと定義することにします： [katex]\mathcal{O}^{\text{hom}} : (\text{Aff}/\mathcal{M}_{ell}) \to \{\text{Cohomology theories}\} [/katex] 従って、楕円曲線に対して、ひとつの楕円cohomology論が対応します。 参考文献： Johan Konter, The homotopy groups of the spectrum Tmf

体K上の楕円曲線とは、種数1の、K上非特異射影代数曲線（とK上の点の対）のことを言います。 スキームS上の楕円曲線とは、properかつ平坦な有限射p:C→Sで、切断e:S→Cを持ち、任意のpの幾何fiberが前の定義の楕円曲線になるもののことを言います。 楕円曲線のような代数幾何的な対象を分類するためには、一般にmoduli問題を考えます。この場合、関手F:Aff^op→Sets、Spec(R)→{Spec(R)上楕円曲線の同型類の集合}のことになります。 今、Fが表現可能、即ちあるスキームMにより表現可能と仮定すると、以下の同型が存在するということになります： [katex]\text{Hom}(\text{Spec}(R),M)\cong F(\text{Spec}(R)) = \{ \text{isom class of elliptic curve }C\to \text{Spec}(R) \}[/katex] 、ただしSpec(R)は任意のaffineスキームです。この場合、自己への射Hom(M,M)はM上の楕円曲線、即ちuniversalであると言います。 ところが、楕円曲線の自己同型群は非自明であり、この自然な同型は存在しません。さらに、Fはスキームによって表現されません。楕円曲線に関するmoduli問題は全く簡単ではありません。 楕円曲線に関するより正しい問題の立て方は、Fを楕円曲線のstackとみなすこと、即ちFを、F:Aff^op→Groupoidsとみなすことです。この場合、AffineスキームSpec(R)に対し、F(Spec(R))はSpec(R)上の楕円曲線のgroupoidとなります。 M_ellをSpec(Z)の楕円曲線のmoduli stackを表すことにします。 [katex]\mathcal{M}_{\overline{ell}}[/katex] で、一般楕円曲線のmoduli stackを表すことにします。一般楕円曲線とは、p:C→Sのfiberがnodal singularityを持つことを許し、切断eはfiberのなめらかなlocasに含まれていると定義されます。このstackはM_ellのDeligne－Mumfordコンパクト化と呼ばれています。 さらに、[katex]\mathcal{M}^+_{\overline{ell}}[/katex] を、Weierstrass楕円曲線のmoduli stackとします。即ち、切断に関係なく、fiberがcuspを持つことを許したものです。 このとき、open substackとしての埋め込み [katex]\mathcal{M}_{ell}\to \mathcal{M}_{\overline{ell}} \to \mathcal{M}^+_{\overline{ell}}[/katex] が存在します。 参考文献： Johan Konter, The homotopy groups of the spectrum Tmf

[katex]\gamma: \Omega\mathcal{U}(4) \to \Omega\mathcal{U} \approx \mathbb{Z}\times B\mathcal{U}[/katex] とし、[katex]\mathcal{Y} = (\Omega\mathcal{U}(4))^\gamma[/katex] を対応する Thom spectrum とします。 Hopf algebroid [katex](A, \Gamma)[/katex] [katex]A = \mathbb{Z}[a_1, a_2, a_3, a_4, a_6][/katex] [katex]\Gamma = A[r, s, t, \lambda^\pm][/katex] に対し、字数付き Hopf algebroid [katex](A_\ast, \Gamma_\ast)[/katex] を、 [katex]A_{2n} = \Gamma(\text{Spec(A)}, \omega^n_C), \Gamma_{2n} = \Gamma(\text{Spec}(\Gamma), \omega^n_C)[/katex] と定義する。このとき、 [katex]A_t = \Gamma_t = 0 \text{ if }t\text{ is…

定理 [katex]\mathcal{M}_{\overline{ell}}[/katex] を安定楕円曲線の moduli stack とする。 このとき、 [katex]\mathcal{M}_{\overline{ell}}[/katex] 上の affine etale site から [katex]E_\infty[/katex]-環の圏への関手 [katex]\mathcal{O}^{top}:(\text{Aff}^{et}_{\mathcal{M}_{\overline{ell}}})^{op}\to \text{Alg}_{E_\infty}[/katex] で以下を満たすものが存在する： 任意の affine etale射 [katex]\text{Spec}R\to \mathcal{M}_{\overline{ell}}[/katex] に対し、[katex]\mathcal{O}^{top}(\text{Spec}R)[/katex] が even-periodic [katex]E_\infty[/katex]-代数で、関手同型 [katex]\pi(\mathcal{O}^{top}(\text{Spec}R))[/katex] となる。 任意の [katex]\text{Spec}R\to \mathcal{M}_{\overline{ell}}[/katex] は一般楕円曲線 [katex]C\to \text{Spec}R[/katex] を分類し、[katex]\mathcal{O}^{top}(\text{Spec}R)[/katex] の形式群と [katex]C[/katex] の形式群 [katex]\hat{C}[/katex] の間の同型関手 [katex]\text{Spc}(\mathcal{O}^{top}(\text{Spec}R)^0(\mathcal{CP}^\infty))\cong \hat{C}[/katex] が存在する。 関手 [katex]\mathcal{O}^{top}(\text{Spec}R)[/katex] は etale 位相に関する層で、[katex]\mathcal{M}_{\overline{ell}}[/katex] の etale site 上の [katex]E_\infty[/katex]-環の層に拡張される。 [katex]M_{FG}[/katex] を形式群の…

定義 三角圏 [katex]C[/katex] の 局所部分圏とは以下を満たす充満部分圏 [katex]D[/katex] を指す。 任意の cofiber列 [katex]X\to Y\to Z \to \Sigma X[/katex] に対し、[katex]X, Y, Z[/katex] の2つが [katex]D[/katex] の対象なら残りも [katex]D[/katex] 対象。 [katex]D[/katex] の任意の余積もまた [katex]D[/katex] の対象。 [katex]Y \in D[/katex] かつ写像 [katex]X \xrightarrow{i} Y \xrightarrow{p} X[/katex] が [katex]p\circ i = 1[/katex] なら [katex]X \in D[/katex]。 定義 [katex]C[/katex] を閉対象モノイダル加法圏とし、それぞれ、モノイダル積 [katex]X\land Y[/katex] 、単位 [katex]S[/katex] 、内部射の対象 [katex]F(X, Y)[/katex]…