Month: August 2021

命題（HTT 4.3.2.15） 与えられた [katex]\infty[/katex]-圏の図式 [katex]C \to D’ \xleftarrow{p} D[/katex] ただし [katex]p[/katex] は categorical fibration とする。 [katex]C^0[/katex] を [katex]C[/katex] の充満部分圏とする。[katex]K \subset \text{Map}_{D’}(C, D)[/katex] を [katex]F|C^0[/katex] の [katex]p[/katex]-左Kan拡張となる関手 [katex]F : C \to D[/katex] で満たされる充満部分圏とする。[katex]K’ \subset \text{Map}_{D’}(C^0, D)[/katex] を、任意の対象 [katex]c \in C[/katex] 関して誘導された図式 [katex]C^0_{/c} \to D[/katex] が [katex]p[/katex]-余極限を持つようなもので満たされる充満部分圏とする。この時、制限関手 [katex]p[/katex] は単体集合の自明 fibration となる。 例 命題の主張を少し簡単にして、[katex]D’ = \Delta^0[/katex] としてみる。 命題（HTT…

古典的Kan拡張 [katex]C[/katex] と [katex]J[/katex] を通常の圏として、[katex]\delta : C \to C^J[/katex] を自明な対角関手とします。この時もし [katex]C[/katex] が任意の小さな余極限を持つならば、[katex]\delta[/katex] は左随伴 [katex]\underrightarrow{\text{lim}} : C^J \to C[/katex] を持ちます。従って、余極限の理論は対角関手の左随伴の研究と考えることが出来ます。 より一般に、関手 [katex]i : J \to J'[/katex]が与えられた時、[katex]i[/katex] の合成により関手 [katex]J[/katex] を誘導します。この時 [katex]C[/katex] が十分な余極限を持てば、[katex]i[/katex] に関する左随伴が構成可能です。この時、この左随伴を、[katex]i[/katex] に関する左Kan拡張と呼びます。 余極限対 定義（HTT 4.3.1.1） [katex]f : C \to D[/katex] を inner fibration、[katex]\overline{p} : K^\triangleright \to C[/katex] を図式、[katex]p = \overline{p}|K[/katex] とする。この時、[katex]\overline{p}[/katex] が [katex]p[/katex] の [katex]f[/katex]-余極限であるとは、写像…

[katex]\infty[/katex]-圏の圏を考えるとき、ordinary圏の中で理論を展開するのはナンセンスです。ordonary圏の一般化として様々なものがありますが、やはりここは [katex]\infty[/katex]-圏、即ち、[katex]\infty[/katex]-圏の [katex]\infty[/katex]-圏を考えたいですよね。 Infinity Category of Infinity Category 定義（HTT 3.0.0.1） 単体圏 [katex]Cat^\Delta_\infty[/katex] を以下で定義する。 [katex]Cat^\Delta_\infty[/katex] の対象は（小さな） [katex]\infty[/katex]-圏。 [katex]\infty[/katex]-圏 [katex]C[/katex]、[katex]D[/katex] に対し、射の対象（＝単体集合）[katex]\text{Map}_{Cat^\Delta_\infty}(C, D)[/katex] を [katex]\infty[/katex]-圏 [katex]Fun(C, D)[/katex] に含まれる最大のKan複体で定義する。 さらに、[katex]Cat_\infty[/katex] で [katex]\text{N}(Cat^\Delta_\infty)[/katex] を表すとし、[katex]Cat_\infty[/katex] を（小さな）[katex]\infty[/katex]-圏 の [katex]\infty[/katex]-圏 とみなすことにする。 [katex]Cat_\infty[/katex] の射対象はKan複体なので、それ自体ちゃんと [katex]\infty[/katex]-圏となっています。 上の定義は、小さな [katex]\infty[/katex]-圏のみを対象としています。小さいと限らない [katex]\infty[/katex]-圏については [katex]\widehat{Cat}_\infty[/katex] で表すことにします。 Limits and Colimits 圏の構成問題でやはり気になるのは極限です。HTTでは極限・余極限を直接定義している他、[katex]Cat_\infty[/katex] をある simplicial model category [katex]\mathbf{A}[/katex] に付随する圏として実現し、[katex]Cat_\infty[/katex] の極限・余極限の存在性を [katex]\mathbf{A}[/katex] のhomotopy極限・homotopy余極限の存在に帰着させる方法が紹介されています。その鍵となるのは以下の定理です。 系（HTT 4.2.4.8） [katex]\mathbf{A}[/katex] を combinatorial simplicial model category とする。このとき、…

accessible category（以後、到達可能圏と呼ぶ）とは、極限についてsmallの条件を課したものである。通常、大きな圏を扱うことが多い。ところが、粗い言い方をしてよければ、極限の議論をする上では大きな集合についての極限を数学的対象として扱うことは少ない。極限の議論をすることは最初から小さな極限に限って良いことになる。この仮定を数学的に定式化したものが到達可能圏である。 定義（Accessible Category） 局所小な圏 [katex]C[/katex] がある正則基数 [katex]\kappa[/katex] に対し、 [katex]\kappa[/katex] – accessible （ [katex]\kappa[/katex] – 到達可能）であるとは、 [katex]C[/katex] が accessible （到達可能）であるとは、ある [katex]\kappa[/katex] が存在してそれが [katex]\kappa[/katex] – accessible であることを言う。 無限圏のバージョン定義は以下となる。 定義（Accessible  [katex]\infty[/katex] – Category） 局所小な圏 [katex]C[/katex] がある正則基数 [katex]\kappa[/katex] に対し、 [katex]\kappa[/katex]-accessible （ [katex]\kappa[/katex] -到達可能）であるとは、ある小さな [katex]\infty[/katex] – 圏 [katex]C^0[/katex] と以下の同型が存在することを言う。 [katex]C[/katex] が accessible （到達可能）であるとは、ある [katex]\kappa[/katex] が存在してそれが [katex]\kappa[/katex] – accessible であることを言う。 上の定義がaccessibleである理由。 命題（HTT 5.4.2.2.） [katex]\infty[/katex] – 圏 [katex]C[/katex] と正則基数 [katex]\kappa[/katex] に対し、TFAE。 ※TFAE: The followigs are equivalent 参考文献：Michael Makkai, Robert Paré, Accessible categories: The…